란다우 문제

란다우 문제(Landau's problems)는 1912년 국제 수학자 대회에서 에드문트 란다우가 제시한 소수에 관한 네 가지 문제들이다.

네 가지 문제는 다음과 같다.

1. 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
2. 쌍둥이 소수 추측: ${\displaystyle p+2}$가 소수인 소수 ${\displaystyle p}$가 무한히 존재하는가?
3. 르장드르의 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
4. ${\displaystyle p-1}$이 제곱수인 소수 ${\displaystyle p}$가 무한히 존재하는가? 다시 말해, ${\displaystyle n^{2}+{1}}$꼴의 소수가 무한히 존재하는가?

2025년 1월 16일 기준, 네 문제 모두 미해결 상태이다.

1937년에 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.

1937년, 천징룬은 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대해서, 소수 ${\displaystyle p}$와 소수 또는 반소수인 ${\displaystyle q}$에 대해 ${\displaystyle 2n=p+q}$가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다.^[1] 몽고메리(Montgomery)와 본(Vaughan)은 예외적인 수(두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다.^[2] 핀츠(Pintz)는 충분히 큰 ${\displaystyle x}$에 대해 예외적인 수들이 ${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$를 만족함을 증명하였다.^[3]

2015년, 토모히로 야마다는 ${\displaystyle e^{e^{36}}\approx 1.7\cdot 10^{1872344071119348}}$ 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.

장이탕^[4]은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.^[5] 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.^[6][7]

천징룬은 ${\displaystyle p+2}$가 소수 또는 반소수인 소수 ${\displaystyle p}$(Chen prime이라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.

르장드르 추측은 소수 ${\displaystyle p}$에 대해 다음 소수와의 간격이 ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$보다 작음을 증명하면 해결된다. ${\displaystyle 4\times 10^{18}}$ 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,^[8] ${\displaystyle 10^{18}}$ 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 ${\displaystyle x^{1/6}}$개의 예외적인 소수(간격이 ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>x^{1/2}}{x\leq p_{n}\leq 2x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.}$^[9]

Ingham은 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle n^{3}}$과 ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.^[10]

란다우의 네 번째 문제는 부냐콥스키 추측 또는 Bateman-Horn 추측이 참일 경우 저절로 증명되며, 2020년 기준^[update] 미해결 상태이다.

${\displaystyle n^{2}+1}$꼴 소수의 예로는 페르마 소수가 있으며, Henryk Iwaniec는 최대 두 개의 소인수를 가지는 ${\displaystyle n^{2}+1}$꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.^[11][12] Nesmith Ankeny는 Hecke 특성을 가지는 L-함수에 대한 확장된 리만 가설을 가정할 때 ${\displaystyle y=O(\log x)}$를 만족하는 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$꼴의 소수가 무한히 많음을 증명하였다.^[13] 란다우의 네 번째 문제는 ${\displaystyle y=1}$인 경우이다.

Merikoski^[14]는 가장 큰 소인수가 ${\displaystyle n^{1.279}}$ 이상인 ${\displaystyle n^{2}+1}$꼴의 수가 무한히 많음을 증명하였다.^{[15][16][17][18][19]} 지수가 2인 경우 란다우 추측이 된다.

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