수학 에서 디리클레 함수 (영어 : Dirichlet function )는 실수 집합 위에 정의된 유리수 지시 함수 이다. 즉, 모든 유리점에서 1, 모든 무리점 에서 0이다. 디리클레 함수는 미적분학 의 다양한 거짓 명제의 반례를 제시한다. 예를 들어, 디리클레 함수는 모든 점에서 불연속 이며, 모든 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하지 않다.
디리클레 함수 1 Q : R → { 0 , 1 } {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }\colon \mathbb {R} \to \{0,1\}}
1 Q ( x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ( m ! π x ) = { 1 x ∈ Q 0 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} 여기서 m ! {\displaystyle m!} 계승 , cos {\displaystyle \cos } 코사인 , Q {\displaystyle \mathbb {Q} } R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } 유리수 와 무리수 의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 베르 2급 함수 이다.[ 1]
만약 x ∈ Q {\displaystyle x\in \mathbb {Q} } x = a b {\displaystyle \textstyle x={\frac {a}{b}}} a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } m ≥ b {\displaystyle m\geq b} m ! x ∈ Z {\displaystyle m!x\in \mathbb {Z} } cos ( m ! π x ) ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in \{-1,1\}}
lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ( m ! π x ) = lim m → ∞ lim n → ∞ 1 = 1 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }1=1} 이다.
만약 x ∈ R ∖ Q {\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } m ≥ 0 {\displaystyle m\geq 0} m ! x ∉ Z {\displaystyle m!x\notin \mathbb {Z} } cos ( m ! π x ) ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \cos(m!\pi x)\in (-1,1)}
lim m → ∞ lim n → ∞ cos 2 n ( m ! π x ) = lim m → ∞ 0 = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)=\lim _{m\to \infty }0=0} 이다.
디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 유리수 를 주기로 갖는 주기 함수 이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.
디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 불연속 이다. 이는 임의의 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
lim sup y → x 1 Q ( y ) = 1 {\displaystyle \limsup _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=1} lim inf y → x 1 Q ( y ) = 0 {\displaystyle \liminf _{y\to x}1_{\mathbb {Q} }(y)=0} 이기 때문이다.
디리클레 함수 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 불연속 이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 불가능이다. 구체적으로, 그 상적분 과 하적분 은 각각 다음과 같다.
∫ a b ¯ 1 Q ( x ) d x = b − a {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=b-a} ∫ a b _ 1 Q ( x ) d x = 0 {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=0} 그러나 디리클레 함수는 단순 함수 이므로, 르베그 적분 가능하며, 그 르베그 적분 은
∫ R 1 Q d μ = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =0} 이다.
임의의 닫힌구간 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
P = { x 0 , x 1 , … , x n } ( a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b ) {\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}\qquad (a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b)} 에 대하여, 각 소구간 [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} 유리수 와 무리수 를 원소로 포함하므로,
sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) = 1 {\displaystyle \sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1} inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) = 0 {\displaystyle \inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0} 이다. 따라서 P {\displaystyle P} 리만 상합 과 리만 하합 은
U ( 1 Q , P ) = ∑ i = 1 n sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) ⋅ ( x i − x i − 1 ) = b − a {\displaystyle U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a} L ( 1 Q , P ) = ∑ i = 1 n inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] 1 Q ( x ) ⋅ ( x i − x i − 1 ) = 0 {\displaystyle L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0} 이며, 그 상적분 과 하적분 은
∫ a b ¯ 1 Q ( x ) d x = inf P U ( 1 Q , P ) = inf P ( b − a ) = b − a {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\inf _{P}U(1_{\mathbb {Q} },P)=\inf _{P}(b-a)=b-a} ∫ a b _ 1 Q ( x ) d x = sup P L ( 1 Q , P ) = sup P 0 = 0 {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}1_{\mathbb {Q} }(x)dx=\sup _{P}L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sup _{P}0=0} 이다.
유리수 의 집합 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 가산 집합 이므로, 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} } 보렐 집합 이며, 특히 르베그 가측 집합 이다. 따라서 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 단순 함수 이며, 특히 가측 함수 이다. 그 르베그 적분 은
∫ R 1 Q d μ = μ ( Q ) = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }1_{\mathbb {Q} }d\mu =\mu (\mathbb {Q} )=0} 이다. 이에 따라 1 Q {\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }} 르베그 적분 가능하다.
독일 의 수학자 페터 구스타프 르죈 디리클레 가 1829년에 제시하였다.[ 2]
↑ Dunham, William (2005). 《The Calculus Gallery》 (영어). Princeton University Press. 197 쪽. ISBN 0-691-09565-5 ↑ Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], Journal für reine und angewandte Mathematik [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169. 
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cb12a889d47020c8ce7046a2eb60785e00c0b6)
![{\displaystyle \sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659c677cbfca0d4aeec0209f437b5fb13b834683)
![{\displaystyle \inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593f5279b6d363e301178a3650f450a552e03ca4)
![{\displaystyle U(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=b-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907814973725418e57451f3f1ef178b035593fd0)
![{\displaystyle L(1_{\mathbb {Q} },P)=\sum _{i=1}^{n}\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}1_{\mathbb {Q} }(x)\cdot (x_{i}-x_{i-1})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4571900b36b44e9d87edeedde77851253526de99)
