함수해석학 에서 무조건 수렴 (無條件收斂, 영어 : unconditional convergence )은 급수 가 더하는 순서와 무관하게 수렴 하는 성질이다.[ 1] [ 2] [ 3] 실수 항 또는 복소수 항 급수의 경우 무조건 수렴은 절대 수렴 과 동치 이다.
위상체 K {\displaystyle K} 및 하우스도르프 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 이 주어졌다고 하자. 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 경우 급수 ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 가 무조건 수렴 한다고 한다.[ 3] :120, §III, Exercise 23, (ii)
임의의 순열 σ ∈ Sym ( N ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {N} )} 에 대하여, ∑ i = 0 ∞ v σ ( i ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{\sigma (i)}} 는 수렴한다. 다음 조건을 만족시키는 s ∈ V {\displaystyle s\in V} 가 존재한다. 임의의 0의 근방 U {\displaystyle U} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N U ∈ N {\displaystyle N_{U}\in \mathbb {N} } 가 존재한다. ∑ i ∈ J v i ∈ s + U ∀ J ∈ { J ⊆ N : | J | < ℵ 0 , { 0 , … , N ϵ , ν } ⊆ J } {\displaystyle \sum _{i\in J}v_{i}\in s+U\qquad \forall J\in \{J\subseteq \mathbb {N} \colon |J|<\aleph _{0},\;\{0,\dots ,N_{\epsilon ,\nu }\}\subseteq J\}} 무조건 수렴 급수는 자명하게 수렴한다. 무조건 수렴하지 않는 수렴 급수를 조건 수렴 (條件收斂, 영어 : conditional convergence )한다고 한다.
실수체 또는 복소수체 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 하우스도르프 K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 의 경우, 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 1] :143, §2.10(ii)
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 는 무조건 수렴한다. 다음 조건을 만족시키는 s ∈ V {\displaystyle s\in V} 가 존재한다. 임의의 연속 반노름 ν : V → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \nu \colon V\to [0,\infty )} 및 양의 실수 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 N ϵ , ν ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon ,\nu }\in \mathbb {N} } 가 존재한다. ν ( s − ∑ i ∈ J v i ) < ϵ ∀ J ∈ { J ⊆ N : | J | < ℵ 0 , { 0 , … , N ϵ , ν } ⊆ J } {\displaystyle \nu \left(s-\sum _{i\in J}v_{i}\right)<\epsilon \qquad \forall J\in \{J\subseteq \mathbb {N} \colon |J|<\aleph _{0},\;\{0,\dots ,N_{\epsilon ,\nu }\}\subseteq J\}} 실수체 또는 복소수체 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 K {\displaystyle K} -바나흐 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 의 경우, 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.[ 2] :10, §1.3, Theorem 1.3.2
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 는 무조건 수렴한다. 임의의 순증가 자연수열 i 0 < i 1 < i 2 < ⋯ {\displaystyle i_{0}<i_{1}<i_{2}<\cdots } 에 대하여, ∑ j = 0 ∞ v i j {\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }v_{i_{j}}} 는 수렴한다. (완전 수렴, 영어 : perfect convergence ) 임의의 λ 0 , λ 1 , ⋯ ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\dots \in \mathbb {\{} {-1},1\}} 에 대하여, ∑ i = 0 ∞ λ i v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}v_{i}} 는 수렴한다. 실수체 또는 복소수체 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 하우스도르프 K {\displaystyle K} -국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 이 주어졌다고 하자. 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 이 다음 조건을 만족시킨다면, 급수 ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 가 절대 수렴 한다고 한다.[ 3] :120, §III, Exercise 23, (iii)
임의의 연속 반노름 ν : V → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \nu \colon V\to [0,\infty )} 에 대하여, ∑ i = 0 ∞ ν ( v i ) < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\nu (v_{i})<\infty } 실수체 또는 복소수체 K ∈ { R , C } {\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} 및 K {\displaystyle K} -노름 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 의 경우, 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 는 무조건 수렴한다. ∑ i = 0 ∞ ‖ v i ‖ < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\Vert v_{i}\Vert <\infty } 하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다.[ 3] :120, §III, Exercise 23, (a) 특히, 프레셰 공간 이나 바나흐 공간 위의 절대 수렴 급수는 무조건 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴 한다.[ 3] :120, §III, Exercise 23, (b)
위상체 K {\displaystyle K} 및 하우스도르프 완비 K {\displaystyle K} -위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 의 경우, 점렬 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ V {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq V} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 3] :120, §III, Exercise 23, (a)
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 는 무조건 수렴한다. 임의의 0의 근방 U {\displaystyle U} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N U ∈ N {\displaystyle N_{U}\in \mathbb {N} } 가 존재한다. ∑ i ∈ J v i ∈ U ∀ J ∈ { J ⊆ N : | J | < ℵ 0 , J ∩ { 0 , … , N U } = ∅ } {\displaystyle \sum _{i\in J}v_{i}\in U\qquad \forall J\in \{J\subseteq \mathbb {N} \colon |J|<\aleph _{0},\;J\cap \{0,\dots ,N_{U}\}=\varnothing \}} 프레셰 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 1] :138, §2.9, Theorem 2.9.14 [ 3] :184, §IV.10, (10.7), Corollary 2
노름 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[ 2] :8, §1.2, Theorem 1.2.2; 8, §1.2, Exercise 1.2.1
첫 번째와 두 번째 조건의 동치는 자명하다.
두 번째 조건 ⇒ 세 번째 조건: K {\displaystyle K} -바나흐 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 위의 급수 ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} ( v i ∈ V {\displaystyle v_{i}\in V} )가 절대 수렴한다고 하자. 그렇다면, ∑ i = 0 ∞ ‖ v i ‖ {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }\Vert v_{i}\Vert } 의 부분합은 코시 점렬 이므로, 임의의 양의 실수 ϵ ∈ R + {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 N ϵ ∈ N {\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} } 가 존재한다.
ϵ > ∑ i = m + 1 n ‖ v i ‖ ≥ ‖ ∑ i = m + 1 n v i ‖ ∀ m , n ≥ N ϵ {\displaystyle \epsilon >\sum _{i=m+1}^{n}\Vert v_{i}\Vert \geq \left\Vert \sum _{i=m+1}^{n}v_{i}\right\Vert \qquad \forall m,n\geq N_{\epsilon }} 따라서 원래 급수 ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 의 부분합 역시 코시 점렬 이며, ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 은 수렴한다.
세 번째 조건 ⇒ 두 번째 조건: K {\displaystyle K} -노름 공간 ( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\Vert \cdot \Vert )} 위의 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다고 가정하자. ( v i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }} 가 임의의 코시 점렬 이라고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 자연수열 i 0 < i 1 < i 2 < ⋯ {\displaystyle i_{0}<i_{1}<i_{2}<\cdots } 이 존재한다.
‖ v m − v n ‖ < 1 2 j ∀ m , n ≥ i j , j ∈ N {\displaystyle \Vert v_{m}-v_{n}\Vert <{\frac {1}{2^{j}}}\qquad \forall m,n\geq i_{j},\;j\in \mathbb {N} } 특히
‖ v i j + 1 − v i j ‖ < 1 2 j ∀ k ∈ N {\displaystyle \Vert v_{i_{j+1}}-v_{i_{j}}\Vert <{\frac {1}{2^{j}}}\qquad \forall k\in \mathbb {N} } 이므로, ∑ j = 0 ∞ ‖ v i j + 1 − v i j ‖ < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }\Vert v_{i_{j+1}}-v_{i_{j}}\Vert <\infty } 이다. 가정에 따라, ∑ j = 0 ∞ ( v i j + 1 − v i j ) {\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }(v_{i_{j+1}}-v_{i_{j}})} 는 수렴한다. ( v i ) i = 0 ∞ {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }} 은 수렴 부분 점렬 ( v i j ) j = 0 ∞ {\displaystyle (v_{i_{j}})_{j=0}^{\infty }} 을 갖는 코시 점렬 이므로, 자기 자신 역시 수렴한다.
바나흐 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다 (드보레츠키-로저스 정리 , 영어 : Dvoretzky–Rogers theorem ).[ 1] :138, §2.9, Theorem 2.9.15 [ 2] :48, §4.1, Theorem 4.1.1 [ 3] :184, §IV.10, (10.7), Corollary 3
모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴 한다. 유한 차원이다. 이에 따라, 임의의 무한 차원 바나흐 공간 은 절대 수렴하지 않는 무조건 수렴 급수를 가진다.
실수항 또는 복소수항 급수의 무조건 수렴[ 편집 ] (실수체 와 복소수체 는 유한 차원 바나흐 공간 이므로,) 실수항 또는 복소수항 급수에 대하여, 무조건 수렴은 절대 수렴 과 동치 이다. 이에 따라 실수항 또는 복소수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열 을 가하여 발산 급수로 만들 수 있다. 리만 재배열 정리 에 따르면, 모든 실수항 조건 수렴 급수는 적절한 순열 을 가하여 임의의 확장된 실수 로 수렴하도록 만들 수 있다. 이는 복소수항 급수에 대해서는 성립하지 않는다.
임의의 자연수 집합 A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } 에 대하여,
N ( A ) = min { | J | : A = ⋃ ( i , j ) ∈ J { i , i + 1 , … , j − 1 , j } , J ⊆ N 2 } ∈ N ∪ { ∞ } {\displaystyle N(A)=\min \left\{|J|\colon A=\bigcup _{(i,j)\in J}\{i,i+1,\dots ,j-1,j\},\;J\subseteq \mathbb {N} ^{2}\right\}\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}} 라고 하자.
임의의 순열 σ ∈ Sym ( N ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {N} )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다 (이 조건을 ㈀이라고 하자).
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 가 수렴하며, ∑ i = 0 ∞ v σ ( i ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{\sigma (i)}} 는 발산하게 되는 실수열 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ R {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} } 이 존재한다. sup i , j ∈ N N ( σ − 1 ( { i , i + 1 , … , j − 1 , j } ) ) = ∞ {\displaystyle \textstyle \sup _{i,j\in \mathbb {N} }N(\sigma ^{-1}(\{i,i+1,\dots ,j-1,j\}))=\infty } 임의의 순열 σ ∈ Sym ( N ) {\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {N} )} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다 (이 조건을 ㈁이라고 하자).
∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 와 ∑ i = 0 ∞ v σ ( i ) {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{\sigma (i)}} 가 수렴하며, ∑ i = 0 ∞ v σ ( i ) ≠ ∑ i = 0 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{\infty }v_{\sigma (i)}\neq \sum _{i=0}^{\infty }v_{i}} 이게 되는 실수열 ( v i ) i = 0 ∞ ⊆ R {\displaystyle (v_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} } 이 존재한다. lim i → ∞ N ( σ − 1 ( { 0 , 1 , … , i } ) = ∞ {\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }N(\sigma ^{-1}(\{0,1,\dots ,i\})=\infty } 특히, ㈁ 조건은 ㈀ 조건을 함의한다.
르베그 공간 V = ℓ 2 ( R ) {\displaystyle V=\ell ^{2}(\mathbb {R} )} 위의 다음과 같은 점렬 ( v i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (v_{i})_{i=1}^{\infty }} 을 생각하자.
v i = ( 0 , … , 0 , i − 1 ⏟ i , 0 , … ) ∈ ℓ 2 ( K ) {\displaystyle v_{i}=(\underbrace {0,\dots ,0,i^{-1}} _{i},0,\dots )\in \ell ^{2}(\mathbb {K} )} 그렇다면, 급수 ∑ i = 1 ∞ v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{\infty }v_{i}} 는
s = ( 1 , 2 − 1 , 3 − 1 , … ) ∈ ℓ 2 ( K ) {\displaystyle s=(1,2^{-1},3^{-1},\dots )\in \ell ^{2}(\mathbb {K} )} 로 무조건 수렴하지만,
∑ i = 1 ∞ ‖ v i ‖ 2 = ∑ i = 1 ∞ i − 1 = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\Vert v_{i}\Vert _{2}=\sum _{i=1}^{\infty }i^{-1}=\infty } 이므로 절대 수렴 하지 않는다.