대각화 가능 행렬

선형대수학에서 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 영어: diagonalizable matrix)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.

환 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다.

• ${\displaystyle G^{-1}MG}$이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 ${\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))}$이 존재한다.

환 ${\displaystyle K}$ 위의 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

또한, 만약 추가로 ${\displaystyle K}$가 대수적으로 닫힌 체이며 ${\displaystyle M}$이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$에 대하여 ${\displaystyle M^{k}\in \operatorname {Mat} (n;K)}$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle M}$은 대각화 가능 행렬이다.
• ${\displaystyle M}$의 고유 공간들의 차원들의 합이 ${\displaystyle n}$이다.
• ${\displaystyle p(M)=0}$이 되는 최소차 일계수 다항식 ${\displaystyle p\in K[x]}$의 차수가 ${\displaystyle k}$라고 할 때, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle k}$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

• 고유 다항식 ${\displaystyle \chi _{M}(x)=\det(x-M)\in K[x]}$은 ${\displaystyle n}$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 ${\displaystyle n^{2}}$차원 아핀 공간 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}$의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

반면, 실수체 위에서, 만약 ${\displaystyle n\geq 2}$일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

환 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 ${\displaystyle G\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;K))}$이 존재한다면, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$을 동시 대각화 가능 행렬족(同時對角化可能行列族, 영어: simultaneously diagonalizable family of matrices)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle M\in {\mathcal {M}}}$에 대하여, ${\displaystyle G^{-1}MG}$는 대각 행렬이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들의 족 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq \operatorname {Mat} (n;K)}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[1]:206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3}

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
• ${\displaystyle M}$의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {M}}}$에 대하여 ${\displaystyle MN=NM}$).

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

임의의 체 ${\displaystyle K}$에서, 행렬

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)}$

은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2;K)}$

${\displaystyle K}$가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle -1}$이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니며, ${\displaystyle -1}$의 제곱근 ${\displaystyle \mathrm {i} \in K}$가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle -1}$이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2일 경우, ${\displaystyle -1=1}$은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

임의의 환 ${\displaystyle K}$에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;K)}$

이는 세 개의 고윳값

${\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1}$

을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}},\quad v_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}}$

따라서,

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}}$

를 정의하면,

${\displaystyle P^{-1}MP=\operatorname {diag} (3,2,1)}$

이 된다.

• 삼각행렬
• 조르당 표준형

• Anton, H.; Rorres, C. (2000년 2월 22일). 《Elementary Linear Algebra (Applications Version)》 (영어) 8판. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-17052-5. 
• Hetzel, Andrew J.; Liew, Jay S.; Morrison, Kent E. (2007년 6월). “The probability that a matrix of integers is diagonalizable” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 114 (6): 491–499. JSTOR 27642247. 2015년 12월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 27일에 확인함. 

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix diagonalization”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Diagonalizable matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.