다항식의 나머지 정리

${\displaystyle x-a}$가 1차 일계수 다항식이므로, 다항식의 나눗셈 정리에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 ${\displaystyle q\in R[x]}$ 및 나머지 ${\displaystyle r\in R}$가 유일하게 존재한다.

${\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r}$

나머지 ${\displaystyle r}$가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 ${\displaystyle r=0}$이거나

${\displaystyle \deg r<\deg(x-a)=1}$

이어야 하기 때문이다. 따라서

${\displaystyle f(a)=(a-a)q(a)+r=0q(a)+r=r}$

이다.

다음 등식을 ${\displaystyle R[x]}$ 위에서 보일 수 있다.

${\displaystyle f(x)=f(x-a+a)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(\max\{\deg f,0\})}(a)}{n!}}(x-a)^{\max\{\deg f,0\}}}$

여기서

${\displaystyle {\frac {f^{(i)}(x)}{i!}}=\sum _{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}{\binom {k}{i}}a_{k}x^{k-i}\in R[x]}$

는 ${\displaystyle R}$의 표수가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle x-a}$로 나눈 나머지는 ${\displaystyle f(a)}$이다.

${\displaystyle f(x)-f(a)}$가 ${\displaystyle x-a}$의 배수임을 보이면 된다. ${\displaystyle f(x)-f(a)}$는

${\displaystyle x^{i}-a^{i}=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots +xa^{i-2}+a^{i-1})}$

꼴의 다항식들의 ${\displaystyle R}$-선형 결합이므로 ${\displaystyle x-a}$의 배수가 맞다.