근접 대수

이 문서는 순서론과 조합론에서, 결합 관계(영어: incidence)를 추상화한 대수적 구조에 관한 것입니다. 결합법칙(영어: associativity)을 만족시키는 일반적인 대수에 대해서는 대수 (환론) 문서를 참고하십시오.

순서론에서 근접 대수(近接代數, 영어: incidence algebra)는 부분 순서 집합에 대하여 정의된, 일반화 뫼비우스 반전 공식이 성립하는 단위 결합 대수이다.

국소 유한 부분 순서 집합(영어: locally finite poset)은 모든 폐구간이 유한집합인 부분 순서 집합이다. 즉, 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$가 주어지고, 임의의 ${\displaystyle a,b\in P}$에 대하여 폐구간

${\displaystyle [a,b]=\{x\in P\colon a\leq x\leq b\}}$

가 유한집합이라면, ${\displaystyle (P,\leq )}$를 국소 유한 부분 순서 집합이라고 한다.

국소 유한 부분 순서 집합 ${\displaystyle (P,\leq )}$와, (단위원을 갖는) 가환환 ${\displaystyle R}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\subset {\mathcal {P}}(P)}$가 ${\displaystyle P}$ 속의, 공집합이 아닌 폐구간들의 집합이라고 하자. ${\displaystyle P}$ 위의, ${\displaystyle R}$ 계수의 근접 대수 ${\displaystyle I(P;R)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(P)\to R}$ 꼴의 함수들의 집합이다.

${\displaystyle f\in I(P;R)}$에 대하여, 편의상 ${\displaystyle f([a,b])=f(a,b)}$로 쓰자. 또한, ${\displaystyle f\in I(P;R)}$는 일종의 행렬로 생각할 수 있다. 즉, ${\displaystyle f(a,b)}$를 (무한할 수 있는) 행렬

${\displaystyle (f)_{a,b}={\begin{cases}f(a,b)&a\leq b\\0&a\not \leq b\end{cases}}}$

로 생각할 수 있다.

근접 대수 ${\displaystyle I(P;R)}$ 위에는 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-대수 구조 및 합성곱을 정의할 수 있다.

• (덧셈) ${\displaystyle (f+g)(a,b)=f(a,b)+g(a,b)}$
• (곱셈) ${\displaystyle (fg)(a,b)=f(a,b)g(a,b)}$

덧셈과 곱셈 아래, 근접 대수 ${\displaystyle ((I(P;R),+,\cdot )}$는 ${\displaystyle R}$-가환 대수를 이룬다. 즉, ${\displaystyle I(P;R)}$는 가환환을 이루며, 표준적인 단사 환 준동형

${\displaystyle R\hookrightarrow I(P;R)}$

${\displaystyle r\mapsto ([a,b]\mapsto r)}$

이 존재한다. 곱셈에 대한 항등원은 값이 1인 상수 함수

${\displaystyle \zeta \in I(P;R)}$

${\displaystyle \zeta (a,b)=1\qquad \forall a,b\in P}$

이며, 이를 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다.

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 덧셈은 행렬의 덧셈, 곱셈은 행렬의 아다마르 곱에 대응한다.

또한, 근접 대수 ${\displaystyle I(P;R)}$ 위에는 합성곱(영어: convolution)이라는 다음과 같은 이항 연산 ${\displaystyle *}$이 존재한다.

${\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)}$

근접 대수의 원소를 행렬로 생각하였을 때, 합성곱은 행렬의 곱에 대응한다. 즉,

${\displaystyle (f*g)_{ab}=\sum _{x}f_{ax}g_{xb}}$

가 되어 좌변은 행렬의 곱이 된다.

합성곱은 결합 법칙 및 덧셈과의 분배 법칙을 따르지만, 일반적으로 교환 법칙은 따르지 않는다. 합성곱의 항등원은 델타 함수 ${\displaystyle \delta \in I(P;R)}$이다.

${\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}}}$

이는 일종의 단위 행렬이다. 따라서, 합성곱 아래 근접 대수 ${\displaystyle (I(P;R),+,*)}$는 ${\displaystyle R}$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

체 계수의 근접 대수의 원소 ${\displaystyle f\in I(P;R)}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle f}$는 합성곱 아래 역원을 갖는다.
• 임의의 ${\displaystyle a\in P}$에 대하여 ${\displaystyle f(a,a)\neq 0}$이다.

제타 함수는 합성곱 아래 역원을 가지는데, 이를 뫼비우스 함수 ${\displaystyle \mu \in I(P;R)}$라고 하며 다음과 같다.

${\displaystyle \mu (a,b)={\begin{cases}1&a=b\\-\sum _{a\leq x<b}\mu (a,x)&a<b\end{cases}}}$

${\displaystyle \zeta *\mu =\mu *\zeta =\delta }$

국소 유한 부분 순서 집합 ${\displaystyle P}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle |\{x\in P\colon a\leq x\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}$

(${\displaystyle P}$가 최대 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 ${\displaystyle R}$ 및 ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 ${\displaystyle (I(P;R),+,*)}$는 ${\displaystyle P}$ 위의, ${\displaystyle M}$ 값을 갖는 함수의 집합 ${\displaystyle M^{P}}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (f*\phi )(a)=\sum _{a\leq b}f(a,b)\phi (b)}$

즉, ${\displaystyle M^{P}}$는 환 ${\displaystyle (I(P;R),+,*)}$의 왼쪽 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle P}$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle |\{x\in P\colon x\leq a\}|<\aleph _{0}\qquad \forall a\in P}$

(${\displaystyle P}$가 최소 원소를 갖는다는 것은 위 조건의 충분조건이다.) 또한, 가환환 ${\displaystyle R}$ 및 ${\displaystyle R}$-가군 ${\displaystyle M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 근접 대수 ${\displaystyle (I(P;R),+,*)}$는 ${\displaystyle P}$ 위의, ${\displaystyle M}$ 값을 갖는 함수의 집합 ${\displaystyle M^{P}}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (f*\phi )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)f(a,b)}$

즉, ${\displaystyle M^{P}}$는 환 ${\displaystyle (I(P;R),+,*)}$의 오른쪽 가군을 이룬다.

만약

${\displaystyle \chi =f*\phi \qquad (\chi ,\phi \in M^{P},\;f\in I(P;R))}$

이며, ${\displaystyle f}$가 합성곱 아래 역원을 갖는다면

${\displaystyle \phi =f^{-1}*\chi }$

가 된다. 특히, 만약 ${\displaystyle f=\zeta }$일 경우 ${\displaystyle f^{-1}=\mu }$이다. 즉, 왼쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

${\displaystyle \chi (a)=(\zeta *\phi )(a)=\sum _{a\leq b}\phi (b)\iff \phi (a)=(\mu *\chi )(a)=\sum _{a\leq b}\mu (a,b)\chi (b)}$

마찬가지로, 오른쪽 가군 작용의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

${\displaystyle \chi (b)=(\phi *\zeta )(b)=\sum _{a\leq b}\phi (a)\iff \phi (b)=(\chi *\mu )(b)=\sum _{a\leq b}\chi (a)\mu (a,b)}$

이를 뫼비우스 반전 공식(영어: Möbius inversion formula)이라고 한다. 이는 수론에서의 뫼비우스 반전 공식의 일반화이다.

대표적인 근접 대수들은 다음과 같다. 아래 예들에서 계수환은 항상 ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$이다.

집합 ${\displaystyle P}$	부분 순서 ${\displaystyle a\leq b}$	뫼비우스 함수 ${\displaystyle \mu (a,b)}$	반전 공식
양의 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$	${\displaystyle a}$는 ${\displaystyle b}$의 약수: ${\displaystyle a\mid b}$	${\displaystyle \mu (b/a)}$ (${\displaystyle \mu (r)}$는 수론에서의 뫼비우스 함수)	뫼비우스 반전 공식
음이 아닌 정수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {N} }$	${\displaystyle a\leq b}$	${\displaystyle {\begin{cases}1&a=b\\-1&a+1=b\\0&a+1<b\end{cases}}}$	유한 차분의 기본 정리 ${\displaystyle \Delta {\mathcal {I}}f=f}$ (${\displaystyle \Delta f(n)=f(n)-f(n-1)}$는 유한 차분, ${\displaystyle {\mathcal {I}}f(n)=f(0)+f(1)+\cdots +f(n)}$)
유한 집합 ${\displaystyle E}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$	${\displaystyle a\subseteq b}$	${\displaystyle (-1)^{|b\setminus a|}}$	포함배제의 원리
유한 집합 ${\displaystyle E}$의 분할들의 집합	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 더 세밀한 분할	${\displaystyle (-1)^{|a|-|b|}(2!)^{|b|_{3}}(3!)^{|b|_{4}}\cdots ((n-1)!)^{|b|_{|a|}}}$. ${\displaystyle |a|}$는 ${\displaystyle a}$의 블록 수, ${\displaystyle |b|}$는 ${\displaystyle b}$의 블록 수, ${\displaystyle |b|_{i}}$는 정확하게 ${\displaystyle i}$개의 ${\displaystyle a}$-블록들을 포함하는 ${\displaystyle b}$-블록들의 수

잔카를로 로타가 1964년 정의하였다.^[1]

• Spiegel, Eugene; O’Donnell, Christopher J. (1997). 《Incidence algebras》. Pure and Applied Mathematics (영어) 206. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-0036-2. 
• Chen, Nanxian (2010년 4월). 《Möbius inversion in physics》. Tsinghua Report and Review in Physics (영어) 1. World Scientific. doi:10.1142/7560. ISBN 978-981-4291-62-0. 

• “Möbius inversion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.