하늘색으로 칠해진 콤팩트 볼록 집합 의 극점들은 붉게 칠해진 점들이다. 크레인-밀만 정리 에 따라, 이 극점들의 볼록 폐포 는 원래 볼록 집합 과 같다. 기하학 에서 극점 (極點, 영어 : extreme point )은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합 으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합 의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. 크레인-밀만 정리 영어 : Krein–Milman theorem )에 따르면, 실수 국소 볼록 공간 의 콤팩트 볼록 집합 은 그 극점들의 볼록 폐포 와 같다. 쇼케 정리 (Choquet定理, 영어 : Choquet’s theorem )에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도 의 무게 중심으로 나타내어진다.
실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 볼록 집합 S {\displaystyle S} F ⊆ S {\displaystyle F\subseteq S} 면 (面, 영어 : face )이라고 한다.[ 1] :121, Chapter 8
공집합 이 아니다.임의의 두 x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} 0 < t < 1 {\displaystyle 0<t<1} t x + ( 1 − t ) y ∈ F {\displaystyle tx+(1-t)y\in F} x , y ∈ F {\displaystyle x,y\in F} 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 볼록 집합 S {\displaystyle S} x ∈ S {\displaystyle x\in S} { x } {\displaystyle \{x\}} S {\displaystyle S} x {\displaystyle x} S {\displaystyle S} 극점 이라고 한다.[ 1] :120, Chapter 8 [ 2] :23, Definition 2.10 [ 3] :369, §A1.3
S {\displaystyle S} E ( S ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(S)}
보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 볼록 집합 S {\displaystyle S} x ∈ S {\displaystyle x\in S} 극점 계수 (영어 : extreme rank )는 다음과 같은 자연수 이다.
ext ( x ) = min { k : x = ∑ i = 0 k t i y i , k ∈ Z + , y 0 , … , y k ∈ S , ( t 0 , … , t k ) ∈ int ( Δ k ) } {\displaystyle \operatorname {ext} (x)=\min \left\{k\colon x=\sum _{i=0}^{k}t_{i}y_{i},\;k\in \mathbb {Z} ^{+},\;y_{0},\dotsc ,y_{k}\in S,\;(t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k})\right\}} 여기서, 임의의 양의 정수 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}
int ( Δ k ) ⊆ ( R + ) k + 1 {\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{k})\subseteq (\mathbb {R} ^{+})^{k+1}} ( t 0 , … , t k ) ∈ int ( Δ k ) ⟺ def t 0 + ⋯ + t k = 1 {\displaystyle (t_{0},\dotsc ,t_{k})\in \operatorname {int} (\Delta ^{k}){\overset {\text{def}}{\iff }}t_{0}+\dotsb +t_{k}=1} 는 k {\displaystyle k} 단체 의 내부 이다. 특히, int ( Δ 0 ) = { 1 } {\displaystyle \operatorname {int} (\Delta ^{0})=\{1\}} x ∈ S {\displaystyle x\in S} x = 1 x {\displaystyle x=1x} ext ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {ext} (x)\geq 0}
이 경우, 만약 ext ( x ) = n {\displaystyle \operatorname {ext} (x)=n} x {\displaystyle x} n {\displaystyle n}
임의의 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} ( F i ) i ∈ I {\displaystyle (F_{i})_{i\in I}} ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}} 공집합 이 아니라면 항상 면이다.
증명:
임의의 x , y ∈ K {\displaystyle x,y\in K} t ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t\in (0,1)}
∀ i ∈ I : t x + ( 1 − t ) y ∈ F i {\displaystyle \forall i\in I\colon tx+(1-t)y\in F_{i}} 라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 ∀ i ∈ I : x , y ∈ F {\displaystyle \forall i\in I\colon x,y\in F} x , y ∈ ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle x,y\in \bigcap _{i\in I}F_{i}}
임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 공집합 이 아닌 콤팩트 볼록 집합 ∅ ≠ K ⊆ V {\displaystyle \varnothing \neq K\subseteq V} 닫힌 면 F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} F {\displaystyle F} K {\displaystyle K} [ 1] :127, 8.13
증명:
K {\displaystyle K} 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 ( F , ⊇ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )} 초른 보조정리 를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
( F , ⊆ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\subseteq )} 닫힌 부분 순서 집합 이다. 증명: 닫힌 면들의 사슬 ( F i ) i ∈ I {\displaystyle (F_{i})_{i\in I}} ⋂ i ∈ I F i {\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in I}F_{i}} 칸토어의 교점 정리 에 의하여) 공집합 이 아니며, (면들의 교집합은 공집합 또는 면이므로) 면이며, (닫힌집합 의 교집합 은 닫힌집합 이므로) 닫힌집합 이다. ( F , ⊇ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq )} 최대 원소 는 한원소 집합 이다. 증명: 임의의 닫힌 면 F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} x , y ∈ F {\displaystyle x,y\in F} x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 한-바나흐 정리 에 따라, ϕ ( x ) ≠ ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)} ϕ : V → R {\displaystyle \phi \colon V\to \mathbb {R} } F {\displaystyle F} 콤팩트 집합 이므로 ϕ ( F ) {\displaystyle \phi (F)} 최댓값 을 갖는다. 따라서 G = ϕ − 1 ( max x ∈ F ϕ ( x ) ) {\displaystyle G=\textstyle \phi ^{-1}(\max _{x\in F}\phi (x))} 닫힌집합 이며, 또한 면을 이룬다. 또한, ϕ ( x ) ≠ ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (x)\neq \phi (y)} G {\displaystyle G} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} G ⊊ F {\displaystyle G\subsetneq F} F {\displaystyle F} ( F , ⊇ F ) {\displaystyle ({\mathcal {F}},\supseteq F)} 최대 원소 가 될 수 없다. 임의의 실수 벡터 공간 V {\displaystyle V} 볼록 집합 S {\displaystyle S} x , y ∈ S {\displaystyle x,y\in S} t ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle t\in (0,1)}
ext S ( t x + ( 1 − t ) y ) < ext S ( x ) + ext S ( y ) {\displaystyle \operatorname {ext} _{S}(tx+(1-t)y)<\operatorname {ext} _{S}(x)+\operatorname {ext} _{S}(y)} 크레인-밀만 정리 에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 콤팩트 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 볼록 폐포 와 일치한다.
증명: [ 1] :128, Theorem 8.14 [ 3] :371, Theorem A1.6
K = ∅ {\displaystyle K=\varnothing } K ≠ ∅ {\displaystyle K\neq \varnothing } K {\displaystyle K} E ( K ) ⊆ K {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)\subseteq K} co ( E ( K ) ) ⊆ K {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))\subseteq K} co ( − ) {\displaystyle \operatorname {co} (-)} 볼록 폐포 이다.) 따라서 K ⊆ co ( E ( K ) ) {\displaystyle K\subseteq \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
귀류법 을 사용하여, x ∈ K ∖ co ( E ( K ) ) {\displaystyle x\in K\setminus \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 한-바나흐 정리 에 의하여, { x } {\displaystyle \{x\}} co ( E ( K ) ) {\displaystyle \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}
inf e ∈ co ( E ( K ) ) ϕ ( e ) > ϕ ( x ) {\displaystyle \inf _{e\in \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))}\phi (e)>\phi (x)} 가 성립하는 실수 값 선형 범함수
ϕ : R n → R {\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 가 존재한다. K {\displaystyle K} 콤팩트 볼록 집합 이므로 그 상 ϕ ( K ) {\displaystyle \phi (K)} 닫힌구간 [ s , t ] ⊆ R {\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} } s ≤ ϕ ( e ) c ≤ t {\displaystyle s\leq \phi (e)c\leq t} F = ϕ − 1 ( t ) {\displaystyle F=\phi ^{-1}(t)} K {\displaystyle K} 닫힌 면이며, 정의에 따라 F ∩ co ( E ( K ) ) = ∅ {\displaystyle F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))=\varnothing } F {\displaystyle F} K {\displaystyle K} ∅ ≠ F ∩ E ( K ) ⊆ F ∩ co ( E ( K ) ) {\displaystyle \varnothing \neq F\cap {\mathcal {E}}(K)\subseteq F\cap \operatorname {co} ({\mathcal {E}}(K))} 모순 이다.
체르멜로-프렝켈 집합론 과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리 와 동치이다.
또한, 에드거 정리 (영어 : Edgar’s theorem )에 따르면, 반사 바나흐 공간 V {\displaystyle V} 유계 볼록 닫힌집합 K {\displaystyle K} 볼록 폐포 와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합 인 것은 콤팩트 집합 인 것보다 더 약한 조건이다.)
밀만 정리 (영어 : Milman’s theorem )에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 V {\displaystyle V} 콤팩트 볼록 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} T ⊆ K {\displaystyle T\subseteq K} T {\displaystyle T} 볼록 닫힌집합 이 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} T {\displaystyle T} 폐포 에 속한다.[ 1] :138, Theorem 9.4
임의의 실수 위상 벡터 공간 V {\displaystyle V} 콤팩트 집합 K ⊆ V {\displaystyle K\subseteq V} 베르 집합 A ∈ Baire ( K ) {\displaystyle A\in \operatorname {Baire} (K)} 측도 μ : Baire ( A ) → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]} v ∈ V {\displaystyle v\in V}
∀ f ∈ V ∗ : f ( x 0 ) = ∫ A ϕ d μ {\displaystyle \forall f\in V^{*}\colon f(x_{0})=\int _{A}\phi \,\mathrm {d} \mu } 가 성립한다면, v {\displaystyle v} μ {\displaystyle \mu } 무게 중심 (-中心, 영어 : barycenter )이라고 하자. (여기서 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 연속 쌍대 공간 이다.)
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 쇼케 정리 (영어 : Choquet’s theorem )에 따르면 다음이 성립한다.[ 1] :168, Theorem 10.7
K {\displaystyle K} E ( K ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(K)} K {\displaystyle K} 보렐 집합 이다.임의의 x ∈ K {\displaystyle x\in K} x {\displaystyle x} 확률 측도 μ : Baire ( E ( K ) ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]} 한원소 집합 의 유일한 점은 0-극점이다.
유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 닫힌 공
cl ( ball R n ( 0 → , 1 ) ) = { v → ∈ R n : ‖ v → ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{\mathbb {R} ^{n}}({\vec {0}},1))=\left\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|\leq 1\right\}} 의 0-극점들은 초구
S n − 1 = { v → ∈ R n : ‖ v → ‖ = 1 } {\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\colon \|{\vec {v}}\|=1\}} 이며, 나머지 모든 점(열린 공 )은 1-극점이다.
[ 편집 ] 실수선 R {\displaystyle \mathbb {R} }
R ≥ = { t ∈ R : t ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }=\{t\in \mathbb {R} \colon t\geq 0\}} 은 닫힌집합 이며 볼록 집합 이지만 유계 집합 이 아니다. 그 속의 0-극점들은 0 ∈ R ≥ {\displaystyle 0\in \mathbb {R} _{\geq }} { 0 } {\displaystyle \{0\}} 볼록 폐포 는 { 0 } ≠ R ≥ {\displaystyle \{0\}\neq \mathbb {R} _{\geq }}
보다 일반적으로, n {\displaystyle n} 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
R ≥ × R n − 1 ⊆ R n {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 은 k ≤ n − 2 {\displaystyle k\leq n-2} k {\displaystyle k} 경계 의 점
x ∈ ∂ ( R ≥ × R n − 1 ) = { 0 } × R n − 1 {\displaystyle x\in \partial (\mathbb {R} _{\geq }\times \mathbb {R} ^{n-1})=\{0\}\times \mathbb {R} ^{n-1}} 은 n − 1 {\displaystyle n-1} n {\displaystyle n}
[ 편집 ] 크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합 을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간 이 존재한다.[ 4]
유클리드 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키 가 20세기 초에 증명하였다.[ 5]
바나흐 공간 에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인 과 다비트 핀후소비치 밀만(러시아어 : Дави́д Пи́нхусович Ми́льман , 히브리어 : דוד פינחוסוביץ' מילמן [ 6] :134
밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.[ 7]
쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(프랑스어 : Gustave Choquet , 1915~2006)가 증명하였다.
![{\displaystyle [s,t]\subseteq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311f5f6dfef9f44112c0b47e2616042e15c2f68c)
![{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} (A)\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8fe1a0bd6e8562a188b8df5cf4219b37df7651)
![{\displaystyle \mu \colon \operatorname {Baire} ({\mathcal {E}}(K))\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eb80eb79fecf1d6345b9707b7ce3619f6b70ad)
