굿스타인의 정리(Goodstein's theorem, -定理)는 집합론의 정리이다. 이 정리는 처음에는 증가하는 것 같지만 결국에는 0으로 감소하는 수열(약한 굿스타인 수열)의 예를 들고 있다. 영국 수학자 루벤 루이스 굿스타인의 이름이 붙어 있으며, 굿스타인에 의해 1944년 처음 증명되었다.[1]:71 이 정리의 보다 강한 판본은 패리스의 정리로 주어진다. 패리스의 정리는 영국 수학자 제프 패리스(Jeff Paris)의 이름에서 따왔으며, 1981년 처음 증명되었다.[1]:71
굿스타인의 정리를 이해하기 위해서는 다음 개념을 먼저 이해해야 할 필요가 있다. 초항이 m인(m은 자연수) 약한 굿스타인 수열이란 자연수 n≥2에 대해 정의된 순서수열
으로, 순서수열
과
에 대해 다음 세 조건을 만족하는 것이다.[1]:66

이면
이다.
이고,
에 대해,
이면
이 성립한다.
굿스타인의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1]:67
- 초항이 자연수인 약한 굿스타인 수열은 0으로 끝난다.
이 정리는 자연수에 관한 정리임에도 순서수의 이론을 도입하지 않으면 증명이 어렵다.
약한 굿스타인 수열이 0으로 감소하는 몇 가지 예를 들어 보자.
- 초항이
인 경우, 다음 항은 명백히
이 된다. - 초항이
인 경우, 다음 항은
이고, 다음 항은
, 그리고 다음 항은
이 되어 결국 0으로 끝나게 된다. - 초항이
인 경우, 항을 계속 나열하면
,
,
,
,
이 되어 0으로 끝나게 된다. - 초항이
인 경우,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, ...,
.
이 정리의 증명에는 다음과 같은 보조정리[1]:65가 필요하다.
- (보조정리) 위와 같은 조건에서, 임의의 순서수 a에 대하여
.
이제 위의 약한 굿스타인 수열
에 대하여,
를 다음과 같이 정의하자.(아래에서 ω는 첫 번째 초한순서수)

그러면
은 다음 성질을 만족한다.
이면
이고
이다.
전자는 자명하다. 후자의 경우
이면 분명하므로
이 0보다 크다고 가정하면,

이므로, 위의 보조정리에 의하여,


이 되어 증명이 된다. 이제
는 순서수의 모임이므로 최소원소
를 갖는다. 이 경우
이 된다. 이로부터 위의 성질에서
을 얻어 증명이 끝난다.
패리스의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1]:69 증명은 굿스타인의 정리에서와 유사하게 할 수 있으나 약간 더 까다롭다.
- 초항이 자연수인 굿스타인 수열은 0으로 끝난다.
이 정리는 굿스타인의 정리와 유사하게, 자연수에 관한 정리임에도 순서수의 이론을 도입하지 않으면 증명이 어렵다. 실제로 패리스와 로리 커비(Laurie Kirby)는 이 정리에 대해서 다음 명제를 증명하였다.[1]:71
이에 따라서, 만약 패리스의 정리가 페아노 산술 내에서 증명이 된다면 페아노 산술이 모형을 갖는 것이 페아노 산술의 정리가 되어 괴델의 불완전성 정리에 모순이 된다. 따라서, 패리스의 정리는 통상적인 자연수 체계인 페아노 산술에서 증명불가능하다.