국소 제타 함수

수론에서 국소 제타 함수(영어: local zeta function)는 어떤 다양체의 유한체에 대한 유리점들의 수에 대한 정보를 담는 생성함수다.

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 대수다양체 ${\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 확대체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}}$에 대한 유리점들의 수

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q^{n}})}$ (${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$)

를 생각할 수 있다. 이 수열들을 다음과 같은 생성함수로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}\#X(\mathbb {F} _{q^{m}})q^{-sm}\right)}$

이를 대수다양체 ${\displaystyle V}$의 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$에 대한 국소 제타 함수라고 한다.

국소 제타 함수들을 곱하여, 대역적인 대상인 하세-베유 제타 함수를 정의할 수 있다.

• 베유 추측
• 타원곡선

• “Zeta-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

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