구모브스키-미라 사상

구모브스키-미라 사상(gumowski-mira map)은 이고르 구모브스키(Igor Gumowski)와 크리스찬 미라(Christian Mira)에 의해서 발표된 비선형계 2차원 이산역학계이다. 입자 가속기와 저장링(Storage ring)의 불안정성의 연구에서 나왔다. 위상평면상에 다양한 형태의 이상한 끌개가 나타나는 것으로 알려져 있다.

이산역학계란 n 을 정수의 시간으로 보고, n 번째 상태 x_n 이 그 이전인 n−1 번째 상태 x_n−1 에 의해 하나로 결정되는 법칙이 주어지는 계이다.^[1] 2차원의 계란 x 와 y 의 순서쌍 (x, y) = x 를 하나의 상태로 보는 계이다. x_n 과 x_n+1 의 관계를 정한 함수를 동역학계에서는 단순히 사상이라고도 한다.^[2] 구모브스키-미라 사상으로 소개된 사상은 제각각이나, 다음의 두 형태의 사상 f₁ 과 f₂ 가 구모브스키와 미라에 의해 발표된 것이다.^[3]

${\displaystyle f_{1}={\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+g(x_{n})\\y_{n+1}=-x_{n}+g(x_{n+1})\end{cases}}}$

${\displaystyle f_{2}={\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+\alpha y_{n}(1-\sigma y_{n}^{2})+g(x_{n})\\y_{n+1}=-x_{n}+g(x_{n+1})\end{cases}}}$

α 와 σ 는 매개변수(정수 계수)이다. 사상 f₁ 의 야코비 행렬은 1 로 보존계에 상당한다. f₂ 에서는 αy_n(1 − σy_n) 이라는 항이 추가되고, 이것이 감소를 발휘하며, f₂ 는 산일계에 상당한다. α 가 작으면 보존계에 가까운 준보준계라고 할 수 있다.^[3]

g(x)는 구모브스키와 미라가 '유계비선형성'(bounded nonlinerity)이라고 부른 항으로, 다음의 두 가지 형태로 주어진다.^[4]

${\displaystyle g_{1}(x)=\mu x+{\frac {2(1-\mu )x^{2}}{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle g_{2}(x)=\mu x+(1-\mu )x^{2}\exp({\frac {1-x^{2}}{4}})}$

μ 는 매개변수로, 구모브스키와 미라는 −1 ≤ μ ≤ 1 의 범위로 할당했다. μ 의 값이 1 보다 작아질 정도로 사상의 비선형성이 강해진다.^[4]

특히 f₂ 와 g₁ 이 합쳐진

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+\alpha y_{n}(1-\sigma y_{n}^{2})+\mu x_{n}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}}\\y_{n+1}=-x_{n}+\mu x_{n+1}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n+1}^{2}}{1+x_{n+1}^{2}}}\end{cases}}}$

라는 형태의 사상이 '구모브스키-미라 사상'으로 소개되는 경우가 많다.^{[5][6][7][8][9]}

구모브스키는 1960년대부터 1970년대에 걸쳐 제네바의 유럽 입자 물리 연구소에서 입자 가속기와 저장링의 불안정성을 연구했다. 입자 가속기 혹은 저장링 내에서의 입자의 가로 방향 운동을 표현하기 위한 모델로 구모브스키와 미라는 보존계의 사상 f₁ 및 비선형 항 g₁ 과 g₂ 를 도입했다.^[4] 준보존계 f₂ 와 함께 구모브스키와 미라의 1980년 저서에서 이들의 사상과 그 계산 결과가 기록됐다.^[3]

적당한 초기값 x₀ = (x₀, y₀) 을 할당하고, 사상을 반복해 적용하는 것으로 이산역학계는 (x₀, x₁, x₂,...)라는 궤도를 만든다.^[2] 궤도는 위상 평면(x-y 평면)상에서 열거된다. 구모브스키-미라 사상은 어느 매개변수 범위에서 이상한 끌개를 가지고 있다.^[4] 주변의 궤도를 흡인하는 부분공간이 있고, 그 부분공간 위에서 궤도는 비주기로 초기값에 예민한 점의 배열로 된다. 한편, 그 부분공간 자체는 변하지 않고, 일정 형상을 유지한다. 이러한 부분공간을 이상한 끌개라고 한다.^[10]

구모브스키-미라 사상은 다종다양한 형상의 이상한 끌개가 나타나는 것으로 알려져 있다.^[5][7] 구모브스키-미라 사상은 미적인 창작에서도 이용됐다.^[11] 특히 f₂ 와 g₁ 로 이루어지는 사상의 새의 날개와 같은 끌개는 유명하고, 매개변수 (α, σ, μ) 가 (0.008, 0.05, −0.496) 일 때에는 3장의 날개가, (0.009, 0.05, −0.801)^[12] 일 때에는 5장의 날개가 그려진다.^[8][13] 미라는 이를 '신화의 새'(mythic bird)라고 이름을 붙였다.^[13][11]

매개변수의 값에 다라서는 이상한 끌개 이외의 끌개도 나타나고, 안정적인 주기점의 끌개도 나타난다.^[5] 매개변수의 값에 따라 해의 움직임이 정성적으로 변화하는 것을 역학계에서는 분기라고 부른다.^[1] 구모브스키-미라 사상은 μ 에 대해 예민하게 반응해 분기하는 경향을 가진다.^[5] 아래에 산일계의 구모브스키-미라 사상(f₂)의 궤도(끌개)와 보존계의 구모브스키-미라 사상(f₁)의 궤도의 예시를 보인다.

• 이산계의 구모브스키-미라 사상의 끌개
• 
  f₂-g₁, α = 0.008, σ = 0.05, μ = −0.496
• 
  f₂-g₁, α = 0.009, σ = 0.05, μ = −0.801
• 
  f₂-g₁, α = 0.005, σ = 0.05, μ = −0.5
  (3개의 주기점)
• 
  f₂-g₂, α = 0.0083, σ = 0.1, μ = −0.38
• 
  f₂-g₂, α = 0.01, σ = 0.1, μ = 0.8
• 
  f₂-g₂, α = 0.07, σ = 0.0075, μ = −0.43
  (25개의 주기점)

• 보존계의 구모브스키-미라 사상의 궤도
• 
  f₁-g₁, μ = 0.39, x₀ = 1, y₀ = 1
• 
  f₁-g₁, μ = 0.365, x₀ = 1, y₀ = 1
• 
  f₁-g₁, μ = 0.34, x₀ = 1, y₀ = 1

끌개가 존재하는 경우, 궤도는 충분한 시간 경과 후에 끌개로 안정된다. 초기값에서 끌개로 끌려가기까지의 궤도를 '과도 상태' 등이라고 한다.^[14] 구모브스키-미라 사상의 움직임의 하나로서, 과도 상태의 궤도가 로지스틱 사상의 분기도와 같은 궤도를 취하는 경우가 있다.^[7] 로지스틱 사상은

${\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}(1-x_{n})}$

라는 형태로 주어지는 1차원 사상이다.^[1] 분기 다이어그램(혹은 궤도 다이어그램)은 매개변수와 끌개의 상성을 그리는 것으로, 로지스틱 사상의 분기 다이어그램은 가로축에 매개변수 a 를 취하고, 세로축에 충분한 시간 경과 후의 궤도의 값을 찍어 그린다.^[15] 위상 평면상의 궤도란 x-y 평면 위에 x₀, x₁, x₂,... 라는 점의 배열을 그리는 것으로, 분기 다이어그램과는 다른 것이다.^[7]

그러나, 구모브스키-미라 사상

${\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=y_{n}+\alpha y_{n}(1-\sigma y_{n}^{2})+\mu x_{n}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}}\\y_{n+1}=-x_{n}+\mu x_{n+1}+{\dfrac {2(1-\mu )x_{n+1}^{2}}{1+x_{n+1}^{2}}}\end{cases}}}$

의 매개변수를 α = 0.008, σ = 0.05 로 하고, 더욱이 μ 의 값을 1 보다 살짝 큰 값으로 했을 때, 그 궤도를 x-y 평면 위에 찍으면 최종적으로 안정적인 세 주기점으로 흡인되나, 그곳까지의 과도 상태의 궤도가 로지스틱 사상의 분기 다이어그램과 매우 비슷한 형태로 된다.^[8]

위와 같은 것이 일어나는 기제로서, 다음과 같은 설명이 주어진다.^[8] x_n+1 대 x_n, x_n+1 대 y_n, y_n+1 대 x_n, y_n+1 대 y_n 의 관계를 문제로 된 영역애서 각각 수치적으로 조사한다. 위와 같은 매개변수에 있어서는 x_n+1 의 값에 대해 y_n 의 변화는 거의 영향을 미치지 않는다. 한편, x_n+1 과 x_n 은 양의 기울기를 지니는 선형 관계에 있다. 또 y_n+1 과 x_n 도 양의 기울기를 지니는 선형 관계에 있다. 그리고 y_n+1 에 대해 y_n 은 위로 볼록한 그래프로 되고, 단봉형의 함수로 된다. 로지스틱 사상도 단봉형의 함수의 형태를 하고 있고, 문제로 된 영역에서 구모브스키-미라 사상의 y_n+1 과 y_n 의 관계도 같은 형태이다. 또 로지스틱 사상에서는 매개변수 a 의 값이 증가함에 따라 단봉의 최대치가 서서히 커진다. 문제로 된 영역의 구모브스키-미라 사상에서도 x_n 의 값이 증가함에 따라 y_n+1 대 y_n 의 단봉 그래프의 최대치가 서서히 커진다. 따라서 문제의 매개변수로 위상 평면상에 궤도를 그리면 x_n 을 조금씩 증가시키면서 y_n 의 단봉 함수에 지배된 y_n+1 의 종국적 움직임을 자동적으로 그리게 된다. 이는 매개변수 a 를 조금씩 증가시키면서 x_n 의 단봉 함수에서 주어지는 x_n+1 의 종국적 움직임을 그리는 로지스틱 사상 분기 다이어그램의 그리는 방식과 결과적으로 동일하다.^[8]

위와 같은 로지스틱 사상의 분기 다이어그램과 비슷한 형태를 지니는 구모브스키-미라 사상의 과도적 움직임은 혼돈 이론의 일반용 서적의 발간 과정에서 출판사 담당 편집자가 발견했다.^[7]

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