고전군

리 군론에서, 고전군(古典群, 영어: classical group)은 실수, 복소수, 또는 사원수 계수의, 특별한 쌍선형 형식 또는 에르미트 형식을 보존하는 정사각 행렬로 구성되는 리 군이다. 이들은 모두 (중심에 대한 몫을 취하면) 단순 리 군을 이룬다. 고전군이 아닌 단순 리 군은 F₄, G₂, E₆, E₇, E₈ 밖에 없다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환 ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}}$ (실수체, 복소수체, 또는 사원수 대수)
• ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 왼쪽 가군 (벡터 공간) ${\displaystyle _{K}V\cong {}_{K}K^{\oplus n}}$
• 실수 결합 대수의 준동형 ${\displaystyle \sigma \colon K\to K^{\operatorname {op} }}$, ${\displaystyle \sigma \in \{\operatorname {id} ,a\mapsto {\bar {a}}\}}$. 즉, 이는 항등 함수이거나 또는 (${\displaystyle K\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}}$일 때) 켤레 연산이다.
  • 특히, ${\displaystyle K=\mathbb {H} }$일 때, ${\displaystyle \operatorname {id} \colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} }$는 환 준동형이 아니므로, ${\displaystyle \sigma \colon a\mapsto {\bar {a}}}$이어야 한다. 따라서, ${\displaystyle (K,\sigma )\in \{(\mathbb {R} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,\operatorname {id} ),(\mathbb {C} ,a\mapsto {\bar {a}}),(\mathbb {H} ,a\mapsto {\bar {a}})\}}$ 네 가지가 있다.
• ${\displaystyle V}$ 위의 함수 ${\displaystyle Q\colon V\times V\to K}$. 이는 실수 계수 쌍선형 형식이어야 하며, 또한 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  ${\displaystyle Q(ua,vb)=\sigma (a)Q(u,v)b\qquad \forall u,v\in V,\;a,b\in K}$

그렇다면, 이 데이터로 정의되는 고전군은 다음과 같은 부분군이다.

${\displaystyle G=\{T\in \operatorname {GL} (V;K)\colon Q(Tu,Tv)=Q(u,v)\;\forall u,v\in V\}}$

${\displaystyle V}$ 위의, 위와 같은 함수 ${\displaystyle Q\colon V\times V\to K}$는 항상 다음과 같이 분해된다.

${\displaystyle Q(u,v)=Q^{+}(u,v)+Q^{-}(u,v)}$

${\displaystyle Q^{\pm }(u,v)={\frac {1}{2}}(Q(u,v)\pm \sigma (Q(v,u)))}$

그렇다면, ${\displaystyle Q^{\pm }}$는 다음과 같은 성질을 갖는다.

${\displaystyle Q^{\pm }(u,v)=\pm \sigma (Q(v,u))}$

따라서, ${\displaystyle Q}$로 정의되는 고전군은 ${\displaystyle Q^{+}}$와 ${\displaystyle Q^{-}}$로 정의되는 두 고전군의 교집합이다.

또한, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {H} }$이며, ${\displaystyle \sigma =\operatorname {id} }$인 경우, 가능한 ${\displaystyle Q}$는 ${\displaystyle Q=0}$ 밖에 없다 (즉, 자명하지 않은 사원수 쌍선형 형식은 존재하지 않는다).

이제, 가능한 경우는 다음 밖에 없으며, 각 경우 이차 형식을 다음과 같은 표준 형식으로 놓을 수 있다.

계수 ${\displaystyle K}$	${\displaystyle Q}$의 조건	고전군	표준 형식	리 대수 형태
실수체	0	${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}$	0	${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n-1}}$
	대칭 쌍선형	${\displaystyle \operatorname {O} (p,n-p;\mathbb {R} )}$	${\displaystyle x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{p}y_{p}-(x_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +x_{n}y_{n})}$	${\displaystyle {\mathsf {B}}_{(n-1)/2}}$ 또는 ${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n/2}}$
	반대칭 쌍선형	${\displaystyle \operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )}$ (${\displaystyle n}$ 짝수)	${\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}}$	${\displaystyle {\mathsf {C}}_{n}}$
복소수체	0	${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$	0	${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n-1}}$
	대칭 쌍선형	${\displaystyle \operatorname {O} (n;\mathbb {C} )}$	${\displaystyle x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}}$	${\displaystyle {\mathsf {B}}_{(n-1)/2}}$ 또는 ${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n/2}}$
	반대칭 쌍선형	${\displaystyle \operatorname {Sp} (n;\mathbb {C} )}$ (${\displaystyle n}$ 짝수)	${\displaystyle x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}+\dotsb +x_{n-1}y_{n}-x_{n}y_{n-1}}$	${\displaystyle {\mathsf {C}}_{n}}$
	에르미트	${\displaystyle \operatorname {U} (p,n-p)}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}}$	${\displaystyle {\mathsf {A}}_{n-1}}$
	반에르미트		${\displaystyle \mathrm {i} ({\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n})}$
사원수 대수	0	${\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)}$	0	${\displaystyle {\mathsf {A}}_{2n-1}}$
	에르미트	${\displaystyle \operatorname {USp} (2p,2(n-p))}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{1}y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{p}y_{p}-({\bar {x}}_{p+1}y_{p+1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n})}$	${\displaystyle {\mathsf {C}}_{n}}$
	반에르미트	${\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(2n)}$	${\displaystyle {\bar {x}}_{1}\mathrm {i} y_{1}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}\mathrm {i} y_{n}}$	${\displaystyle {\mathsf {D}}_{n}}$

고전군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {U} (p,q)\subseteq \operatorname {GL} (p+q;\mathbb {C} )\cap \operatorname {O} (2p,2q;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {O} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {O} (p+q;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q;\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {USp} (p,q)=\operatorname {U} (p,q)\cap \operatorname {Sp} (p+q;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)\subseteq \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \operatorname {O} ^{*}(2n)=\operatorname {O} (2n;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (n,n)}$

${\displaystyle \operatorname {U} (n/2)\cong \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (n;\mathbb {R} )}$

‘고전군’(영어: classical group)이라는 용어는 헤르만 바일이 1939년에 최초로 사용하였다.^[1]

• “Classical group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.