갈릴레이 군

특수상대론
상대성 원리 상대성이론
기초 상대운동 관성 좌표계 광속 맥스웰 방정식 로런츠 변환
결과 시간 팽창 상대론적 질량(relativistic mass) 질량–에너지 등가 길이수축 동시성의 상대성 상대론적 도플러 효과(relativistic Doppler effect) 토머스 세차 운동(Thomas precession) 상대론적 원반 벨의 우주선 역설 에렌페스트 역설(Ehrenfest paradox)
시공간 민코프스키 시공간 시공간 다이어그램(Spacetime diagram) 세계선 광추
동역학 고유 시간 불변질량 사차원 운동량
역사 선구자 갈릴레오 상대성 갈릴레오 변환 에테르설(aether theories)
사람 아인슈타인 조머펠트 마이컬슨 몰리 피츠제럴드 헤르글로츠 로런츠 푸앵카레 민코프스키 피조 아브라함 보른 플랑크 폰 라우에 에렌페스트 톨먼 디랙
특수 상대성 이론의 대안 공식화(alternative formulations) 물리학 포털  분류
v t e

물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

${\displaystyle n}$차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

${\displaystyle (t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))}$

이들은 함수의 합성 아래 ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group) ${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}$이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}$은 유클리드 군이다. ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}}$

그렇다면, 반직접곱에서 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}$의 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 위의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}}$

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}}$

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}}$

갈릴레이 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)}$의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(n+1)}$이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

생성원	기호	단위
시간 변화	${\displaystyle H}$	[시간]−1
공간 병진 이동	${\displaystyle P_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)	[길이]−1
공간 회전	${\displaystyle J_{ij}}$ (${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$, ${\displaystyle J_{ij}=-J_{ji}}$)	1
갈릴레이 변환	${\displaystyle C_{i}}$ (${\displaystyle i=1,\dots ,n}$)	[시간] [길이]−1

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 ${\displaystyle i}$가 곱해져 있다.)

${\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}$

${\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}$

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.^{[1]:191, §Ⅳ.7}

${\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1}$

이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 ${\displaystyle M}$을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

${\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}$

${\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}}$

따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

3+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(3+1)}$의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.

• 중심 전하 ${\displaystyle M}$. 이는 질량에 해당한다.
• 질량껍질 불변량 ${\displaystyle ME-P^{2}/2}$. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
• ${\displaystyle W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}$
• ${\displaystyle W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}}$

${\displaystyle W_{ij}}$ 및 ${\displaystyle W_{ijk}}$는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

• ${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle mE_{0}}$
• ${\displaystyle w_{ij}}$
• ${\displaystyle w_{ijk}}$

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, ${\displaystyle m}$은 실수이다. 물리학적으로 ${\displaystyle E_{0}\geq 0}$이어야만 한다.

${\displaystyle m\neq 0}$인 경우를 생각하자. ${\displaystyle (E,\mathbf {P} )}$ 공간 위에 질량껍질 제약 ${\displaystyle mE=mE_{0}+P^{2}/2}$을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 ${\displaystyle C_{i}}$는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, ${\displaystyle C_{i}}$의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 ${\displaystyle J_{ij}}$에 의해 생성되는 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$이다 (${\displaystyle n\geq 3}$). ${\displaystyle n=3}$인 경우, 3차원 스핀 군 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)}$의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 ${\displaystyle s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}}$에 의하여 완전히 분류된다. 즉, ${\displaystyle m\neq 0}$인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$의 유니터리 표현 ${\displaystyle s}$ 및 질량 ${\displaystyle m}$, 정지 에너지 ${\displaystyle E_{0}}$에 의하여 분류된다.

${\displaystyle m=0}$인 경우, 유니터리 표현이므로 ${\displaystyle mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0}$이다. 유도 표현 방법에 따르면, ${\displaystyle (E,\mathbf {P} )}$ 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

• ${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=0}$인 경우: 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle J_{ij}}$와 ${\displaystyle C_{i}}$에 의하여 생성되는 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}$이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
• ${\displaystyle \mathbf {p} ^{2}>0}$인 경우: 이 경우 안정자군은 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}$이며, 이는 ${\displaystyle \mathbf {p} }$에 대하여 수직인 방향의 ${\displaystyle C_{i}}$ 및 ${\displaystyle P_{i}}$에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 ${\displaystyle \operatorname {ISO} (n-1)}$의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

0+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1)}$은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (1)}$은 1차원 아벨 리 군 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이다.

1+1차원 갈릴레이 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {gal}}(1+1)}$은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )}$와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}}$

${\displaystyle [x,p]=i\hbar }$

${\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0}$

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle C\mapsto x}$

${\displaystyle H\mapsto p}$

${\displaystyle P\mapsto \hbar }$

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.^{[2]:191–196} 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

• Arnold, Vladimir I. (1997). 《Mathematical methods of classical mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bargmann, Valentine (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. 《Annals of Mathematics》. 2 (영어) 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831. 
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967). “Nonrelativistic particles and wave equations”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 6 (4): 286–311. Bibcode:1967CMaPh...6..286L. doi:10.1007/bf01646020. 

• “Galilean group”. 《nLab》 (영어). 
• “Classical anomaly”. 《nLab》 (영어). 
• “Galilean, SE(3), Poincare groups - Central Extension” (영어). StackExchange. 
• YAN Kun(2004). Energy-exchange descriptions on the superluminal velocity and quantum fractal(Equation of the one-way speed of light for the constancy of the two-way speed of light). DOI:10.3969/j.issn.1006-8341.2004.03.010.

• 푸앵카레 군
• 유클리드 군
• 로런츠 군