量子力学において、行列表示(ぎょうれつひょうじ)とは、演算子を行列、状態ベクトルを縦ベクトルとして計算する方法である。
実際に計算機を用いて計算を行う場合は、微積分などの演算子を使う形式よりも行列表示の方が扱いやすい。
演算子の行列要素[編集]
任意の完全正規直交系
をひとつ選ぶと、これを用いて演算子と状態ベクトルは以下のように展開できる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}&={\hat {1}}{\hat {A}}{\hat {1}}=\sum _{m,n}|m\rangle \langle m|{\hat {A}}|n\rangle \langle n|=\sum _{m,n}|m\rangle A_{mn}\langle n|\\|\psi \rangle &={\hat {1}}|\psi \rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6656e7ae379fd48c29f3412b5722cb2bb559efc7)
この
を、「演算子
の行列要素」と呼ぶ。
行列表示での計算[編集]
このように行列表示をすれば、「状態ベクトル
に演算子
を作用して、新たな状態ベクトル
を得た」
![{\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle =|\psi '\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e7e7f6577b475e4675b288ac03491e613ef815)
ということは、「行列
と縦ベクトル
のかけ算で、新たな縦ベクトル
を得た」
![{\displaystyle \sum _{n}\ A_{mn}\psi _{n}=\psi '_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c170ab6905f5a9182bf5b5246ac3bfb8039e511f)
あるいは
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &&\\A_{21}&\ddots &&&\\\vdots &&A_{mn}&&\vdots \\&&&\ddots &\\&&\cdots &&\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ \psi _{1}\\\ \vdots \\\ \psi _{n}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ \psi '_{1}\\\ \vdots \\\ \psi '_{m}\\\ \vdots \\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07ba16a336a69e9a2470db82301916ff94ecbb0)
と表現できる。
参考文献[編集]