リスク中立確率 (リスクちゅうりつかくりつ、英 : risk-neutral probability )とは、金融経済学 や数理ファイナンス 、金融工学 などにおいて、金融資産 の理論的な価格を決定するために用いられる仮想上の確率 である。確率測度 であることを強調して、リスク中立確率測度 (英 : risk-neutral probability measure )やリスク中立測度 (英 : risk-neutral measure )と呼ばれたり、またその数学的特性から同値マルチンゲール測度 (英 : equivalent martingale measure )と呼ばれることもある。リスク中立確率の下では全ての資産価格が(局所)マルチンゲール となる。多くの資産価格理論において中核的な役割を果たしており、確率的割引ファクター や無裁定価格理論 などとも深く関連する重要な概念である。
リスク中立確率とは資産価格がマルチンゲール となるような仮想上の確率を指す。確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上において、リスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} とは、以下の2条件を満たす確率測度 を言う[1] 。
P {\displaystyle \mathbb {P} } と P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} は同値(互いに絶対連続 )である。 任意の金融資産の価格とそのインカム・ゲイン の和を安全資産 の利子率で割り引いたものはリスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} の下で(局所)マルチンゲールとなる。 例えば、離散時間モデルの場合、任意の金融資産 i {\displaystyle i} の価格 p i , t {\displaystyle p_{i,t}} について以下の式が成立する[2] [3] 。
p i , t = E ~ t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 ] {\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]} ここで d i , t + 1 {\displaystyle d_{i,t+1}} は金融資産 i {\displaystyle i} の時点 t + 1 {\displaystyle t+1} におけるインカム・ゲインであり、 r f , t + 1 {\displaystyle r_{\mathrm {f} ,t+1}} は安全資産の利子率である。 E ~ t {\displaystyle {\widetilde {E}}_{t}} は確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} による、時点 t {\displaystyle t} までの情報で条件づけられた条件付き期待値 である。
連続時間モデルの場合は、インカム・ゲインの確率過程 が区分的に連続ならば、次のような方程式が成立する。
p i , t = E ~ t [ ∫ 0 s exp { − ∫ 0 u r f , t + v d v } d i , t + u d u + exp { − ∫ 0 s r f , t + u d u } p i , t + s ] {\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[\int _{0}^{s}\exp \left\{-\int _{0}^{u}r_{\mathrm {f} ,t+v}dv\right\}d_{i,t+u}du+\exp \left\{-\int _{0}^{s}r_{\mathrm {f} ,t+u}du\right\}p_{i,t+s}\right]} ただし、ここでの安全資産の利子率 r f , t {\displaystyle r_{\mathrm {f} ,t}} は指数レートによる連続時間においての利子率となる。
確率的割引ファクターとの関係 [ 編集 ] リスク中立確率測度は確率的割引ファクター の別表現とも言える。ここでは離散時間の場合について考えるが、連続時間においても同じ結論が成立する。リスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} は確率測度 P {\displaystyle \mathbb {P} } と同値であるので、ラドン=ニコディム微分 d P ~ / d P {\displaystyle d{\widetilde {\mathbb {P} }}/d\mathbb {P} } が存在して
p i , t = E ~ t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 ] = E t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 d P ~ d P ] {\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]=E_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}\right]} が成り立つ。ここで
m t + 1 = 1 1 + r f , t + 1 d P ~ d P {\displaystyle m_{t+1}={\frac {1}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}} とすれば、
p i , t = E t [ m t + 1 ( p i , t + 1 + d i , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{i,t}=E_{t}\left[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})\right]} となる。よって m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} は確率的割引ファクターである。
アセットプライシングの基本定理 [ 編集 ] アセットプライシングの基本定理 とは、リスク中立確率の存在や一意性についての必要十分条件 を与える定理である。ファイナンスの基本定理と呼ばれることもある。金融市場の数学的定式化の違いにより定理の内容が若干異なるが[4] [5] 、通常以下のように言及される。
アセットプライシングの第1基本定理 金融市場に裁定取引 が存在しない必要十分条件は少なくとも1つ以上のリスク中立確率が存在することである。 アセットプライシングの第2基本定理 金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が完備 である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。 ^ Shreve & (2004) , p. 228 ^ Dybvig and Ross & (2003) , p. 616 ^ Cochrane & (2005) , p. 51 ^ Shreve & (2004) , pp. 224–234 ^ Dybvig and Ross & (2003) , p. 614 参考文献 [ 編集 ] Cochrane, John H. (2005), Asset Pricing (2 ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 9780691121376 Dybvig, Philip H.; Ross, Stephen A. (2003), “Arbitrage, state prices and portfolio theory”, in Constantinides, George M.; Harris, Milton; Stulz, René M., Handbook of the Economics of Finance 1 , Elsevier, pp. 605-637, doi :10.1016/S1574-0102(03)01019-7 , ISBN 9780444513632 Shreve, Steven E. (2004), Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models , New York: Springer, ISBN 9780387401010 関連項目 [ 編集 ]