特殊ユニタリ群

リー代数の「${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$」とは異なります。

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限（英語版） 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 リー型（英語版） 散在（英語版） コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群（英語版） シューア multiplier（英語版） 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド（英語版） 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8 ローレンツ ポアンカレ 共形（英語版） 微分同相 ループ（英語版） 無限次元リー群（英語版） O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体

n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義[編集]

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{g\in U(n);\det g=1\}}$

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質[編集]

特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。

• 次元 n²−1 の単純リー群
• コンパクトで単連結
• ランク n−1
• SU(n) の中心は巡回群 Z_n と同型
• 外部自己同型群は n≥3 に対しては Z₂、n=2 に対しては自明な群

生成子[編集]

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

${\displaystyle \mathrm {tr} \,T_{a}=0}$

${\displaystyle T_{a}^{\dagger }=T_{a}}$

基本表現[編集]

基本表現、或いは定義表現では、n 次正方行列で表現される。

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}$

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。

従って、

${\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}=T_{a}T_{b}+T_{b}T_{a}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}d_{abc}T_{c}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}}$

規格化条件として

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}$

をとる。

随伴表現[編集]

随伴表現では、n²−1 次正方行列で表現され、その成分は、

${\displaystyle (T_{a})_{ij}=-if_{aij}\,}$

で与えられる。

例[編集]

SU(2)[編集]

SU(2) の元の一般形は

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\\\end{bmatrix}}}$

となる。ここで、α, β ∈ C は |α|² + |β|² = 1 を満たす。

SU(3)[編集]

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ の生成子 T の基本表現は

${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$

ここで、${\displaystyle \lambda }$ はゲルマン行列である。

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}$

交換関係は

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c}}$

となり、構造定数 f は

${\displaystyle f_{123}=1\,}$

${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$

となる。d は

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

となる。

他の群との関係[編集]

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (q)\times \mathrm {U} (1)}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {O} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (2n)\supset \mathrm {USp} (2n)}$

${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {E} _{6}\supset \mathrm {SU} (6)}$

${\displaystyle \mathrm {E} _{7}\supset \mathrm {SU} (8)}$

${\displaystyle \mathrm {G} _{2}\supset \mathrm {SU} (3)}$

O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E₆, E₇, G₂: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

${\displaystyle \mathrm {Spin} (6)=\mathrm {SU} (4)}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} (4)=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)=\mathrm {USp} (2)}$

関連項目[編集]

• リー群

外部リンク[編集]

• Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". mathworld.wolfram.com (英語).
• special unitary group in nLab