4元電流密度

4元電流密度（よんげんでんりゅうみつど、英語: four-current）とは、電荷密度と電流密度を相対論的な時空における4元ベクトルとして記述したものである。

4元電流密度はローレンツ変換の下でベクトル^{[要曖昧さ回避]}として変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 $ρ$ 、空間成分が電流密度 $j$ であり

$j^{\mu }=(\rho c,{\boldsymbol {j}})$

と書かれる。光速度 $c$ により電荷密度の次元が電流密度の次元に換算される。

基礎方程式[編集]

電荷の保存則を表す連続の方程式は、4元ベクトルの発散

$\partial _{\mu }j^{\mu }=0$

の形で書かれる。

4元電流密度は電磁場の源（ソース）でありマクスウェルの方程式

$\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=-\mu _{0}j^{\mu }$

を満たす。ここで $F$ は電磁場テンソル、 $A$ は電磁ポテンシャルである。また $μ 0$ は磁気定数である。

また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力

$f_{\mu }=j^{\nu }F_{\nu \mu }$

を受ける。

ラグランジュ形式[編集]

詳細は「古典電磁気学の共変定式#電磁気学のラグランジュ形式」を参照

物質 $X$ と電磁場 $A$ が相互作用する系の作用積分は

$S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]$

と書かれる。相互作用項 $S int$ は一般に

$S_{\text{int}}[X,A]={\frac {1}{c}}\int j^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により

$j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}$

と表される。

微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 $X$ の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。

古典粒子[編集]

古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。位置 $X i$ にある粒子が電荷 $q i$ を帯びているとき、作用汎関数は

${\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\int d\lambda \left({\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}$

で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は

$j^{\mu }(x)=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda$

である。

「相対論的力学」も参照

フェルミ粒子[編集]

量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 $ψ$ で記述される。質量が $m$ の自由なフェルミ粒子の運動項は

$S_{\psi }[\psi ]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x$

で与えられる。ここで $γ$ はガンマ行列である。

フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は

$S_{\psi }[\psi ]+S_{\text{int}}[\psi ,A]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu }Q)\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x$

の形となる。ここで $e$ は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、 $Q$ はディラック場 $ψ$ の $U(1) em$ の下での変換性を表すチャージである。

従って相互作用項は

$S_{\text{int}}[\psi ,A]=e\int {\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)\,d^{4}x$

であり、4元電流密度は

$j^{\mu }(x)=e{\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)$

となる。

「量子電磁力学」も参照

表話編歴電磁気学
基本	電気磁性
静電気学	電荷クーロンの法則電場電束ガウスの法則電位静電誘導電気双極子分極電荷
静磁気学	アンペールの法則電流磁場磁化磁束ビオ・サバールの法則磁気モーメントガウスの法則
電気力学	自由空間ローレンツ力起電力電磁誘導ファラデーの法則レンツの法則変位電流マクスウェルの方程式電磁場電磁波リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル（英語版）マクスウェル・テンソル渦電流
電気回路	電気伝導電圧キルヒホッフの法則電気抵抗静電容量インダクタンス交流インピーダンスアドミタンス共鳴空洞導波管
共変定式	電磁場テンソル 4元電流密度電磁ポテンシャル電磁場の応力エネルギーテンソル（英語版）
人物	アンペールクーロンファラデーガウスオームヘヴィサイドヘンリーヘルツキルヒホフローレンツマクスウェルテスラボルタヴェーバーエルステッド
カテゴリ

4元電流密度

基礎方程式[編集]

ラグランジュ形式[編集]

古典粒子[編集]

フェルミ粒子[編集]

関連項目[編集]

€4.95