量子力学の数学的定式化

定義 (複素計量ベクトル空間) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$を複素ベクトル空間とする。任意の${\displaystyle \varphi ,\psi ,\chi \in {\mathcal {H}}}$に対して以下の性質を満たす二項演算子${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ~:~{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\to \mathbf {C} }$を${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上の内積もしくは計量という：

• (共役対称性) ${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle ={\overline {\langle \psi ,\varphi \rangle }}.}$
• (線形性)${\displaystyle \forall a,b\in \mathbf {C} }$に対し、 ${\displaystyle \langle \chi ,a\psi +b\varphi \rangle =a\langle \chi ,\psi \rangle +b\langle \chi ,\varphi \rangle }$
• (正定値性) ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle \geq 0}$であり、しかも${\displaystyle \quad \langle \psi ,\psi \rangle =0\implies \psi =0}$である。

複素ベクトル空間上に内積を一つ指定してできる組${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$を複素計量ベクトル空間という。

定義 (ヒルベルト空間) ―  複素計量ベクトル空間${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$がノルム${\displaystyle \|\psi \|={\sqrt {\langle \psi ,\psi \rangle }}}$から定まる距離${\displaystyle d(\psi ,\chi )=\|\psi -\chi \|}$に関して完備であるとき、複素計量ベクトル空間${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。

定理 (可分なヒルベルト空間の一意性) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$を任意の可分な無限次元ヒルベルト空間とするとき、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$と${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$は同型である。

仮定 (状態空間に関する仮定) ―  量子力学において状態空間は複素ヒルベルト空間である^新井(p210)。状態空間の単位ベクトルを状態ベクトルと呼び、各状態ベクトルは何らかの量子状態に対応している。また２つの状態ベクトルψ、φが${\displaystyle |a|=1}$を満たす何らかの複素数aでφ=aψという関係を満たすとき、ψとφは同一の量子状態を表す^新井(p210)。

定義 (L²関数、L²空間) ― 記号を上述のように定義し、

${\displaystyle L^{2}(X):=\{\psi ~:~X\to \mathbf {C} \mid \int _{X}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x<\infty \}/\sim }$

と定義する。${\displaystyle L^{2}(X)}$の元をX上のL²関数という。 さらにL²(X)上の内積を

${\displaystyle \langle \psi ,\chi \rangle :=\int _{X}{\overline {\psi (x)}}\chi (x)\mathrm {d} x}$

により定義すると、組${\displaystyle (L^{2}(X),\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$はヒルベルト空間をなすことが知られている。このヒルベルト空間をX上のL²空間という。

定義 (有界作用素) ― ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$をヒルベルト空間とする。線形作用素${\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$が有界線形作用素、もしくは単に有界作用素であるとは、実定数C≧0が存在し、任意の${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}}$に対し、

${\displaystyle \|T(\psi )\|_{{\mathcal {H}}_{2}}\leq C\|\psi \|_{{\mathcal {H}}_{1}}}$　

が成立する事を言う。ここで${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {H}}_{k}}}$は${\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}}$の内積に対応するノルムである。Tが有界とは限らないとき、Tを非有界作用素という^H13(p56)。

定理 ― 線形作用素Tが有界である必要十分条件は、Tが連続であることである^新井(p65)

定義 (ユニタリ作用素) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$をヒルベルト空間とする。全射線形作用素${\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$が任意の${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {H}}}$に対し、

${\displaystyle \langle U(\psi ),U(\varphi )\rangle =\langle \psi ,\varphi \rangle }$

を満たすとき、Uをユニタリ作用素という。

定理 ― ユニタリ作用素は有界作用素である

定義 (共役ベクトル空間) ―  ヒルベルト空間${\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$の元${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$と定数 a∈C、に対し、

${\displaystyle a\times \psi :={\bar {a}}\psi }$

と定義すると、${\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$もヒルベルト空間になる。ここで${\displaystyle {\bar {a}}}$はaの複素共役である。${\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\times ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$を${\displaystyle ({\mathcal {H}},+,\cdot ,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$の共役ベクトル空間（英語版）という。

定義 (ブラベクトルとケットベクトル) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$の元をブラベクトル、${\displaystyle {\mathcal {H}}}$の元をケットベクトルと呼ぶ^{F15(p23)[注 1]}。

定理 (リースの表現定理) ―  ${\displaystyle \alpha ~:~{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$を有界線形作用素とすると、以下の性質を満たす${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}^{*}}$が一意に存在する

任意の${\displaystyle \chi \in {\mathcal {H}}}$に対し、${\displaystyle \alpha (\chi )=\langle \psi ,\chi \rangle }$

系 ―  ブラベクトルと複素数値の有界線形作用素は１対１に対応する。

定義 (稠密に定義された作用素) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$をヒルベルト空間とする。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$の部分集合Dom(T)で定義された線形作用素${\displaystyle T~:~\mathrm {Dom} (T)\to {\mathcal {H}}_{2}}$が${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$で稠密に定義されているとは、Dom(T)が${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$の稠密部分集合である事をいい^新井(p71)、以下のように書き表す。

${\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$　（稠密に定義されている）

定義 (稠密に定義された線形作用素の拡大) ―  稠密に定義された２つの線形作用素${\displaystyle S,T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$が、　Dom(S) ⊂ Dom(T) かつT|_Dom(S) = Sを満たすとき、TはSの拡大であるといい、以下のように書き表す：

S ⊂ T

定理 (BLT定理) ―  稠密に定義された作用素 Tがその定義域において有界な線形作用素であれば、Tを全域に一意に拡張可能である。すなわち、全域で定義された${\displaystyle {\bar {T}}~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$が一意に存在し、${\displaystyle {\bar {T}}|_{\mathrm {Dom} (T)}=T}$である^新井(p71)

定義 (閉作用素、可閉作用素、閉包作用素) ―  稠密に定義された線形作用素${\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$が以下を満たすとき、Tは閉作用素であるという：

点列${\displaystyle \{\psi \}_{n}\subset {\mathcal {H}}_{1}}$が${\displaystyle (\psi _{n},T(\psi _{n}))\to (\varphi ,\chi )\in {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}}$となる(φ,χ)を持てば、${\displaystyle \varphi \in \mathrm {Dom} (T)}$であり、しかもχ=T(φ)が成立する^{新井(p86-87)}。　

また稠密に定義された線形作用素${\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}$が、拡大${\displaystyle S\supset T}$でSが閉作用素であるものを持つとき、Tは可閉作用素であるという^{新井(p86-87)}。

Tが可閉作用素であるとき、Tの拡大線形作用素${\displaystyle S\supset T}$で上記の性質を満たす（包含関係に関する）最小のもの${\displaystyle {\bar {T}}}$が必ず存在することが知られており、${\displaystyle {\bar {T}}}$をTの閉包作用素という^{新井(p86-87)}。

定義 (共役作用素) ― 

${\displaystyle \mathrm {Dom} (T^{*})=\{~\psi \in {\mathcal {H}}_{2}~:~}$上述の性質を満たす${\displaystyle \psi '}$が存在する${\displaystyle \}}$

とし、線形写像T^*を

${\displaystyle T^{*}~:~\mathrm {Dom} (T^{*})\to {\mathcal {H}}_{1},\quad \psi \mapsto \psi '}$

により定義し、T^*をTの共役作用素という^{新井(p82-83)}。

定理 ―  Tが可閉であれば以下が成立する：

• T^*が稠密に定義される⇔Tが可閉作用素^新井(p90)
• ${\displaystyle \mathrm {Dom} ({\overline {T^{**}}})=\mathrm {Dom} ({\bar {T}})}$

定義 (自己共役作用素とその関連概念) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$をヒルベルト空間とし、${\displaystyle T~:~\mathrm {Dom} (T)\subset {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$を稠密に定義されているとは限らない線形作用素とする。

• 任意のφ, ψ∈Dom(T)に対し、${\displaystyle \langle \varphi ,T(\psi )\rangle =\langle T(\varphi ),\psi \rangle }$が成立するとき、Tをエルミート作用素という^新井(p102)。
• Tが稠密に定義されたエルミート作用素であるとき、Tを対称作用素であるという^H13(p56)
• Dom(T) = Dom(T^*)を満たす対称作用素Tを自己共役作用素という^新井(p102)。
• Tが可閉作用素で、その閉包が自己共役であるとき、Tは本質的に自己共役であるという^新井(p165)。

仮定 (オブザーバブルに関する仮定) ―  量子力学におけるオブザーバブルは自己共役作用素として表現される。

命題 ― 

Tは自己共役作用素⇒Tは対称作用素⇒Tはエルミート作用素

定理 ― 

1. Tは本質的に自己共役作用素なら、Tの閉包${\displaystyle {\bar {T}}}$は自己共役であり、しかもTの拡大で自己共役なものは${\displaystyle {\bar {T}}}$に限る^H13(p173)
2. Tがエルミート作用素なら、共役作用素T^*をDom(T)上で定義でき、しかもをDom(T)上でT^*=Tである。　　　　　　…(B1)
3. Tが対称作用素⇒Tは可閉作用素　　　　　　…(B2)
4. Tが自己共役作用素⇒Tは閉作用素
5. Tが対称作用素⇒${\displaystyle {\bar {T}}=T^{**}}$かつ${\displaystyle {\bar {T}}^{*}={\overline {T^{*}}}}$^{新井(p90,101)}

定理 (掛け算作用素によるスペクトル定理^H13(p207)) ―  ${\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$を自己共役作用素とする。このときσ-有限（英語版）な可測空間(X,μ)とユニタリ作用素${\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}L^{2}(X,\mu )}$と可測な実数値関数${\displaystyle h~:~L^{2}(X,\mu )\to \mathbf {R} }$が存在し、T_U:=UTU^-1とすると以下が成立する：

${\displaystyle T_{U}(\psi )=h(x)\psi (x)~~\forall \psi \in \mathrm {Dom} (T_{U})}$

定義 (微分作用素) ―  非負整数α₁、…、α_d≧0からなるベクトル(α₁、…、α_d)に対し、

${\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}}$

${\displaystyle \partial ^{\alpha }:={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}}}$

とする（この記法を多重指数表記という）。

${\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}$　

の形で書ける作用素をm次の微分作用素という。ここで添え字αは非負整数の組で、和は有限和であり、ψ_α(x)はR^d上の複素数値の局所自乗可積分な関数である。なおDの定義において、α₁=…=α_d=0の項${\displaystyle \psi _{0}(x)\partial ^{0}}$はψ₀(x)倍する演算子とみなす。

定義・定理 (C∞
0(R^d)の${\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}$における稠密性) ―  ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}$の部分集合C∞
0(R^d)を

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})=\{\psi (x):\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {C} ~,}$C^∞級関数 s.t. ある有界閉集合Kが存在し、ψはR^d＼K上で恒等的に0である${\displaystyle \}}$ 　

と定義すると次が成立する：

C∞
0(R^d)は${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}$の稠密部分集合である^新井(p43)　

系 ―  微分作用素Dを${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}$上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。

定義 (掛け算作用素・位置作用素) ―  実数値可測関数

${\displaystyle f~:~\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {R} }$

に対して線形作用素M_fを

${\displaystyle M_{f}~:~\mathrm {Dom} (M_{f})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),\quad }$${\displaystyle \psi (x)\mapsto f(x)\psi (x)}$　

と定義し、M_fの閉包を掛け算作用素という。ここで

${\displaystyle \mathrm {Dom} (M_{f}):={\bigg \{}\psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})~:~}$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}|f(x)\psi (x)|^{2}\operatorname {d} x<\infty {\bigg \}}}$　

である。

特にj = 1,...,dでf(x)=x_jという形の掛け算作用素を第j位置作用素という。

定理 ―  掛け算作用素は自己共役作用素である。

定義 (運動量作用素) ―  線形作用素

${\displaystyle P_{j}~:~C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad }$${\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}\psi (x)}$ 　

の閉包を第j運動量作用素という。

定理・定義 ―  各jに対し第j運動量作用素P_jは本質的に自己共役である。より一般に

${\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}(-i)^{|\alpha |}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}},}$ ${\displaystyle \forall \alpha ~:~a_{\alpha }\in \mathbf {R} }$　　　…(A1)　

という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である^新井(p198)。特に

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad }$${\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar \left(x_{k}{\partial \over \partial x_{j}}-x_{j}{\partial \over \partial x_{k}}\right)\psi (x)}$ 　

の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。

定理 (時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素の自己共役性) ―  時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素

${\displaystyle H=-{\hbar \over 2m}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}{}^{2}}+\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{\ell }{}^{2}}\right)+V(x)}$　

に関しては、以下の条件をみたすときには本質的に自己共役である^P01(p82)：

${\displaystyle V(x)>-Q(|x|)}$を満たす非負かつ非減少な連続関数Q(r)で${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\mathrm {d} r \over {\sqrt {Q(2r)}}}=\infty }$となるものが存在する。　

また時間非依存かつ一粒子のハミルトニアンが以下の条件を場合もハミルトニアンは本質的に自己共役である^{P01(p88)H13(p192)}：

${\displaystyle V(x)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })+L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })}$で、しかも${\displaystyle {\begin{cases}p=2&{\text{if }}\ell \leq 3\\p>2&{\text{if }}\ell =4\\p>n/2&{\text{if }}\ell \geq 5\end{cases}}}$　

定義 (C∞
0(Ω)と${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$) ― R^dの領域Ω⊂R^dに対し、

${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )=\{\psi (x):\Omega \to \mathbf {C} ~,}$C^∞級関数 s.t. ある有界閉集合K⊂Ωが存在し、ψはΩ＼K上で恒等的に0である${\displaystyle \}}$ 　

とする。 さらにα=(α₁,...,α_d)、β=(β₁,...,β_d)に対し、及びC^∞級関数ψ : R^d → Cに対し、

${\displaystyle \|\psi \|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{d}}\left|x{}^{\alpha }\partial ^{\beta }\psi (x)\right|}$　、ここで${\displaystyle x^{\alpha }:=x_{1}{}^{\alpha _{1}}\cdots x_{1}{}^{\alpha _{d}}}$

と定義する。C^∞級関数ψ : R^d → Cが

任意のα=(α₁,...,α_d)、β=(β₁,...,β_d)に対し、${\displaystyle \|\psi \|_{\alpha ,\beta }<\infty }$　

という性質を満たすとき、ψを急減少関数といい、Rⁿ上の急減少関数全体の集合${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$と書き、${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$をシュワルツ空間という^F15(p109)。

定義 ―  以下の2条件を満たす時、C∞
0(R^d)の元の列{φ_n}はC∞
0(Ω)の元φに収束するという^F15(p103)：

• nに依存しない有界閉集合K⊂Ωで、supp φ_n⊂Kが任意のnに対して成立するものが存在する。
• 任意のβ=(β₁,…,β_n)に対し、${\displaystyle \mathrm {sup} \{|\partial ^{\beta }\phi _{n}(x)-\partial ^{\beta }\phi (x)|~:~x\in K\}\to 0}$が成立する。

また以下の性質が満たされているとき、${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$の元の列{ψ_n}は${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$の元ψに収束するという：

任意のα=(α₁,...,α_d)、β=(β₁,...,β_d)に対し、${\displaystyle \|\psi _{n}-\psi \|_{\alpha ,\beta }\to 0}$　

定義 (超関数) ―  線形汎関数

T : C∞
0(Ω)→R

で連続なものをシュワルツ超関数、あるいは単に超関数という。 ここでC∞
0(Ω)上の線形汎関数Tが連続であるとは、C∞
0(Ω)の元の列${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$がC∞
0(Ω)の元${\displaystyle \phi }$に収束するときは常に

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T(\phi _{n})=T(\phi )}$

が成立する事を言う^F15(p103)。 超関数全体の集合を${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}$と表記する。

定義 (緩増加超関数) ―  線型汎関数

${\displaystyle T~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} }$

で、${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$の元の列{ψ_n}が${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$の元ψに収束するなら

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T(\psi _{n})=T(\psi )}$

を満たすものを連続であるといい、${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$からCへの連続な線型汎関数を緩増加超関数といい、緩増加超関数全体の集合を${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})}$と書き表す。

定義 (デルタ超関数) ―  ΩをR^dの開集合とするとき、以下のように定義される超関数をデルタ超関数という：

${\displaystyle \delta ~:~C_{0}^{\infty }(\Omega )\to \mathbf {C} }$、　${\displaystyle \phi \mapsto \phi (0)}$

定義 (超関数の偏微分) ―  超関数Tの偏微分を

${\displaystyle \partial _{x_{i}}T(\phi )=\langle \partial _{x_{i}}T,\phi \rangle :=-\langle T,\partial _{x_{i}}\phi \rangle }$

により定義する。

定義 (弱微分) ―  ΩをR^dの開集合とする。局所可積分関数ψ、χ : Ω → Cに対応する超関数T_ψ、T_χが

${\displaystyle T_{\chi }=\partial _{i}T_{\psi }}$

を満たす時、χはψの弱微分であるとい、

${\displaystyle \chi =w{\text{-}}\partial _{i}\psi }$

と表記する。

定理 (運動量作用素の定義域) ―  運動量作用素（の閉包作用素）P_jの定義域は以下のように書くことができる：

${\displaystyle \mathrm {Dom} (P_{j})=\{\psi \in {\mathcal {H}}\mid \exists w{\text{-}}\partial _{j}\psi _{j},~\|w{\text{-}}\partial _{j}\psi _{j}\|^{2}<\infty \}}$

定理 ―  フーリエ変換とフーリエ逆変換は${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$上定義可能である。しかもこれらの変換は${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}$上の全単射であり、フーリエ変換とフーリエ逆変換は逆写像の関係にある^F15(p112)