推定量

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統計学における推定量（すいていりょう）とは、現実に測定された標本データをもとに、確率分布の母数（パラメータ、現実には測定できない）として推定した数量（英語：Estimate）、もしくはそれをデータの関数として表す推定関数（すいていかんすう：Estimator）のことをいう。各母数に対していろいろな種類の推定量がある。これらはそれぞれ異なる基準に従って得られるものであり、必ずしもどれが特に優れているということはできない。

母数の推定には、1つの数値として与える「点推定」と、確率的に母数を含む区間を与える「区間推定」の2種類があるが、点推定量のことを特に推定量と呼ぶことが多い。

区間推定量には通常用いられる信頼区間（その区間が母数を含んでいる確率に応じて表示）や、ベイズ統計学における信用区間（母数がその区間に入る確率に応じて表示）がある。

日本工業規格では、「母集団のパラメータを推定するのに用いる統計量。」と定義している^[1]。

点推定に関する諸定義[編集]

母数${\displaystyle \theta }$の点推定量を${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$として、

• ${\displaystyle {\widehat {\theta }}-\theta }$ を、${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ の誤差という。
• ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ の偏り、つまり母数からのズレは ${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta }$ と定義される。
• すべてのθに対して${\displaystyle B({\widehat {\theta }})=0}$ の場合（言い換えるとすべてのθに対して ${\displaystyle \operatorname {E} ({\widehat {\theta }})=\theta }$ の場合）に、${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ を母数 θ の不偏推定量という。

以下、var(X) はX の分散、E(X) はX の期待値を表す。

• ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ の平均二乗誤差は、${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\theta )^{2}]}$ と定義される。

• ${\displaystyle \operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {var} ({\widehat {\theta }})+(B({\widehat {\theta }}))^{2}}$

つまり、平均二乗誤差 = 分散 + (偏りの二乗)である。

Θ の推定量の標準偏差（分散の平方根）、つまりθ の推定量の標準偏差の推定関数を、θ の標準誤差という。

このほか、推定量の望ましい性質に関する概念には次のようなものがある。

最尤推定[編集]

母数をある数値とした条件下でデータが得られる条件付き確率を、逆に母数の関数と見て、そのデータにおける尤度関数という。データに対して尤度関数を最大になる母数を求める方法を最尤法という。これによって母数の値として推定されるものを最尤推定量という。

一致性（Consistency）[編集]

一致推定量とは、標本数が大きくなるにつれてある数値に確率的に収束する（分散が0に収束する）ような推定量をいう。

すなわち推定量 ${\displaystyle t_{n}}$（n は標本サイズ）が、どんなに小さい ${\displaystyle \epsilon >0}$ に対しても

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\rm {Prob}}\left\{\left|t_{n}-\theta \right|<\epsilon \right\}=1}$

となる場合に、母数 ${\displaystyle \theta }$ に対する一致推定量という。特にほとんど確実に（確率1で）収束する場合には、「強一致性」（strong consistency）という。

有効性（Efficiency）[編集]

推定量の質は一般に平均二乗誤差で評価される。場合によっては不偏推定量の中からさらに分散（=平均二乗誤差）が最小のものを選ぶ必要があり、これを有効推定量という。ある不偏推定量の分散が他のどんな不偏推定量よりも小さい場合もあり、有効性あるいは不偏性の一方だけを重視すべきではない。

頑健性（Robustness）[編集]

頑健性とは、仮定したモデルの変化による推定量の変化が少ないことをいう。

その他[編集]

推定量が充たすべき性質には他に（当然ではあるが）、確率推定量が0と1の間になければならない、分散推定量が非負でなければならない、といったものがあるが、場合によっては不偏推定量がこれらを満たさない場合もある。

脚注[編集]

参考文献[編集]

• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 
• 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。 
• 日本規格協会, JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

関連項目[編集]

• 確率
• 統計学
• 最尤法
• 偏り

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
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