対の公理

対の公理（ついのこうり、axiom of pairing）は、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の二つの元に対し、それら二つのみを要素とする集合（対、pair）が存在することを主張するものである。

定義[編集]

任意の二つの元x,yに対し、xとyのみを要素とする集合zが存在する。すなわち、

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists z\,\forall w\,[w\in z\iff (w=x\lor w=y)].}$

あるいは、より弱い主張である

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists z\,\,[x\in z\land y\in z]}$

が公理として採用される場合もある。 こちらは、zがxとyを含むことのみしか要請しないが、置換公理（あるいはもっと弱く分出公理）のもとでは集合

${\displaystyle \{x,y\}=\{\,w\in z\mid w=x\lor w=y\,\}}$

が存在するため上の定義と同等になる。

性質[編集]

外延性の公理により、任意のx,yに対しその対が一意に定まる。その集合のことを{x,y}と記す。 また同じく外延性より、x=yの場合における対{x,x}は一元集合{x}に等しいので、単集合の存在も導くことができる。

対の公理を用いて、順序対を定義することができる；

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}.\,}$

帰納的に、n個の元の順序対(n組、n-tuple) は、

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).\!}$

と定義される。

他の公理との関係[編集]

対の公理はZF公理系の他の公理と独立ではない。すなわち、置換公理および「濃度が2以上の集合の存在」から、任意のx,yに対する対{x,y}の存在を導ける（濃度が2以上の集合の存在については、無限公理、あるいは空集合の公理と冪集合の公理の組み合わせから導くことができる）。 そのため対の公理は、公理系を記述する際に省略されることもある。

関連項目[編集]

• 順序対
• 直積

参考文献[編集]

• ケネス・キューネン『集合論 独立性証明への案内』藤田博司訳、日本評論社、2008年、ISBN 978-4-535-78382-9
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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