存在記号

ラテン文字の「Ǝ」とは異なります。

存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。この記号は1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入された^[1][2]。

これとは対照的に全称記号は、全てのメンバーについての量化である。

概要[編集]

例として、「ある自然数の平方が25である」を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和であるとは言えない。その代わりに以下のような文を書く:

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

これは存在量化（existential quantification）を用いた、形式論理として妥当な単一の文である。

この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は「などなど」が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない。

5 は自然数のもとで、5 を ${\displaystyle n}$ に代入すると "5·5 = 25" となり、式は真となる。"${\displaystyle n\cdot n=25}$" が5以外の自然数 ${\displaystyle n}$ で偽となることは関係がない。少なくとも1つの解が存在すれば、存在量化で真となるに十分である。

一方、「ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、5 が奇数であるため真となる。この事実は変数 ${\displaystyle n}$ が取りうる値の範囲を示す「議論領域（domain of discourse）」が重要であることを示している。 何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。 例として、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は「ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n}$ は奇数であり、かつ ${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文と論理的に同値である。この場合、「かつ」は論理積を表している。

数理論理学で存在量化を表す存在記号は "${\displaystyle \exists }$"（サンセリフ体の "E" を裏返した字）で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する^{[要検証 – ノート]}。 故に、${\displaystyle P(a,b,c)}$ が "${\displaystyle a\cdot b=c}$" を表す述語で、${\displaystyle \mathbf {N} }$ が自然数の集合であるとすると、

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)}$

という論理式が以下の文を表すことになる^[4]。

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

同様に、${\displaystyle Q(n)}$ が 「${\displaystyle n}$ は偶数である」を表す述語とすると

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

という論理式が以下の文を表すことになる。

ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

存在記号の各種記号法は全称記号の項目に参照されたし。

符号位置[編集]

注[編集]

関連項目[編集]

• 一階述語論理
• 存在汎化
• 存在例化
• 量化
• 全称記号

参考文献[編集]

• Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0 

表 話 編 歴 論理学
関連項目 学術的領域 議論学 価値論 批判的思考 再帰理論 形式意味論 論理史 非形式論理学 計算機科学における論理学（英語版） 数理論理学 数学 メタ論理学 メタ数学 モデル理論 哲学的論理学 哲学 論理学の哲学 数学の哲学 証明論 集合論 論理学の歴史 基本概念 アブダクション 分析的と総合的の区別（英語版） 二律背反 アプリオリ 演繹 定義(内包と外延) 記述 帰納 推論 論理的帰結 論理形式（英語版） 論理的含意（英語版） 論理的真理 名前 必要十分条件 意味 パラドックス 可能世界論 前提 確率 理性 推理 参考 意味論 命題 サブスティトゥーション（英語版） 統語論（英語版） 真理 真理値 妥当性 数学記号の表
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