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線型代数学 において固有値分解 (英 : Eigendecomposition, Eigen Value Decomposition ) とは、固有値 に着目した行列の分解 である[1] [2] [3]
行列 A ∈ M d ( K ) {\displaystyle A\in M_{d}(K)} K は適当な体) に対して、ある正則行列 P {\displaystyle P} 対角行列 Λ {\displaystyle \Lambda }
A = P Λ P − 1 {\displaystyle A=P\Lambda P^{-1}} と書けて、さらに
Λ {\displaystyle \Lambda } の対角成分が
A {\displaystyle A} の固有値
λ 1 , … , λ d {\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}} である (すなわち、
Λ = d i a g ( λ 1 , … , λ d ) {\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d})} である) ようなものを
A {\displaystyle A} の固有値分解という
[1] [3] 。また、このとき
A {\displaystyle A} は
対角化可能 であるという。
一般に行列 A {\displaystyle A} ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}} ± i {\displaystyle \pm i} ( 2 1 0 2 ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&1\\0&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}}
d {\displaystyle d} A ∈ M d ( K ) {\displaystyle A\in M_{d}(K)} A {\displaystyle A} K d {\displaystyle K^{d}} A {\displaystyle A} d {\displaystyle d} ( v 1 , … , v d ) {\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{d})} [4]
利点・応用 [ 編集 ] 線型代数学 において、固有値分解は次のような利点がある[1] [2] [3]
行列の冪計算 [ 編集 ] 行列 A {\displaystyle A} A = P Λ P − 1 {\textstyle A=P\Lambda P^{-1}} n {\displaystyle n} A {\displaystyle A} A n {\displaystyle A^{n}}
A n = ( P Λ P − 1 ) n = ( P Λ P − 1 ) ( P Λ P − 1 ) ⋯ ( P Λ P − 1 ) = P Λ n P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(P\Lambda P^{-1})^{n}\\&=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})\\&=P\Lambda ^{n}P^{-1}\end{aligned}}}
で表される。 Λ {\displaystyle \Lambda } Λ = d i a g ( λ 1 , … , λ d ) {\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{d})} Λ n = d i a g ( λ 1 n , … , λ d n ) {\displaystyle \Lambda ^{n}=\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1}^{n},\dots ,\lambda _{d}^{n})} A {\displaystyle A} P {\displaystyle P} A {\displaystyle A}
行列の指数 [ 編集 ] 冪計算の応用として、行列の指数関数
e A := ∑ n = 0 ∞ 1 n ! A n {\displaystyle e^{A}\mathrel {:=} \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}}
の計算もまた、 A {\displaystyle A} A = P Λ P − 1 {\textstyle A=P\Lambda P^{-1}} A n = P Λ n P − 1 {\displaystyle A^{n}=P\Lambda ^{n}P^{-1}}
e A = e P Λ P − 1 = P e Λ P − 1 = P ( ∑ x = 0 ∞ 1 n ! Λ n ) P − 1 = P ( e λ 1 e λ 2 ⋱ e λ d ) P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{A}&=e^{P\Lambda P^{-1}}\\&=Pe^{\Lambda }P^{-1}\\&=P\left(\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda ^{n}\right)P^{-1}\\&=P\left({\begin{smallmatrix}e^{\lambda _{1}}&&&\\&e^{\lambda _{2}}&&\\&&\ddots &\\&&&e^{\lambda _{d}}\end{smallmatrix}}\right)P^{-1}\end{aligned}}}
と計算できる。
他にも、様々な工学的応用がある[5] [6] [7] [8] [9]
関連項目 [ 編集 ] ^ a b c Weisstein, Eric W. "Eigen Decomposition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html ^ a b Abdi, H. (2007). The eigen-decomposition: Eigenvalues and eigenvectors. Encyclopedia of measurement and statistics, 304-308. ^ a b c Strang, G. (2003). Introduction to linear algebra. Cambridge (MA): Wellesley-Cambridge Press. ^ 西田, 吾郎『線形代数学 』京都大学学術出版会、2009年6月。ISBN 978-4-87698-757-3 。OCLC 674429372 。https://www.worldcat.org/oclc/674429372 。 ^ Umeyama, S. (1988). An eigendecomposition approach to weighted graph matching problems. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 10(5), 695-703. ^ Pesavento, M., Gershman, A. B., & Haardt, M. (2000). Unitary root-MUSIC with a real-valued eigendecomposition: A theoretical and experimental performance study. IEEE transactions on signal processing, 48(5), 1306-1314. ^ Xu, W., & Kaveh, M. (1995). Analysis of the performance and sensitivity of eigendecomposition-based detectors. IEEE Transactions on Signal Processing, 43(6), 1413-1426. ^ Kruse, D. E., & Ferrara, K. W. (2002). A new high resolution color flow system using an eigendecomposition-based adaptive filter for clutter rejection. IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 49(10), 1384-1399. ^ Yousefi, S., Zhi, Z., & Wang, R. K. (2011). Eigendecomposition-based clutter filtering technique for optical microangiography. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 58(8), 2316-2323.
