函数的平方根

数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、英: functional square root）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 g の函数的平方根 f とは、すべての x に対して f(f(x)) = g(x) を満たすもののことを言う。

• 例えば、f(x) = 2x² は g(x) = 8x⁴ の函数的平方根である。

• 同様に、チェビシェフ多項式 g(x) = T_n(x) の函数的平方根は f(x) = cos (√n arccos(x)) である。これは一般には多項式ではない。

• また、f(x) = x/(√2+x(1−√2)) は g(x) = x/(2−x) の函数的平方根である。

f が g の函数的平方根であることは、f = g_[½] あるいは f = g_½ と表記される。

• 指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された^[1]。

• ℝ 上での f(f(x)) = x の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる^[2]。特殊解はbc ≠ 1 に対して f(x) = (b − x)/(1 + cx) である。これは c = 0 あるいは |b| ≅ |c| ≫ 1 (f(x) = 1/x) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 f に対して、任意の可逆函数 Ψ による函数的共役 ${\displaystyle \Psi ^{-1}\circ f\circ \Psi }$ もまた解であることを注記している。

任意の函数的 n-乗根（n= ½ だけでなく、連続、負、無限小の n も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る^{[3][4] [5]}。

例[編集]

sin_[2](x) = sin(sin(x)) [赤の曲線]

sin_[1](x) = sin(x) = rin(rin(x)) [青の曲線]

sin_[½](x) = rin(x) = qin(qin(x)) [橙の曲線]

sin_[¼](x) = qin(x) [橙の曲線より上にある黒の曲線]

sin_[–1](x) = arcsin(x) [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

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