一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列 ${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$ に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、英: generalized Appell representation）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}$

ただし母関数あるいは核と呼ばれる ${\displaystyle K(z,w)}$ は、次の級数によって構成される：

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$ with ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

および

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$ and all ${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

および

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$ with ${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

上述のように、${\displaystyle p_{n}(z)}$ が次数 ${\displaystyle n}$ の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

• ${\displaystyle g(w)=w}$ とすると、ブレンケ多項式のクラスに属する多項式が得られる。
• ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ とすると、ニュートン多項式のような一般差分多項式を含む多項式のシェファー列が得られる。
• それらを合わせて ${\displaystyle g(w)=w}$ および ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ とすることで、多項式のアペル列（英語版）が得られる。

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

この定数は

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

で与えられる。ただしこの和は ${\displaystyle n}$ を ${\displaystyle k+1}$ 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての ${\displaystyle \{j\}}$ に対して取られる。

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

核 ${\displaystyle K(z,w)}$ が ${\displaystyle g_{1}=1}$ に対し ${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$ と書くことが出来るための必要十分条件は

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

が成り立つことである。ただし ${\displaystyle b(w)}$ および ${\displaystyle c(w)}$ にはべき級数表現

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

および

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}}$

が存在する。今

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

ブレンケ多項式の特別な場合として、${\displaystyle g(w)=w}$ が得られ、したがって ${\displaystyle b_{n}=0}$ が成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

• q-差分多項式（英語版）

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.