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マッカラーの公式 」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：
fr:Formule de MacCullagh 29 décembre 2016 à 15:13 (CEST)）
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（2019年6月 ）
ジェームズ・マッカラー （1809年 - 1847年 ）マッカラーの公式 （マッカラーのこうしき、仏 : formule de MacCullagh ）は、球状でない物体が、物体から十分に離れてはいるが、物体の径と比べれば極端には離れていない点で作る万有引力の場 を記述するのに重要な公式である。万有引力ポテンシャルの基本的な定義が基になっているが、ポテンシャルの一般的なラプラス展開をするのではなく、2次近似までで切ることで得られる。測地学 の理論や地球物理学 で広く用いられる。
万有引力ポテンシャルの一般表示 [ 編集 ] 球面座標系 で、ポテンシャルが作られる点 P {\displaystyle P} r {\displaystyle \mathbf {r} } P ′ {\displaystyle P'} r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } r {\displaystyle r} r ′ {\displaystyle r'} O {\displaystyle O} r {\displaystyle \mathbf {r} } r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } ψ {\displaystyle \psi } P ′ {\displaystyle P'} d M ( r ′ ) {\displaystyle \mathrm {d} M(\mathbf {r'} )} M {\displaystyle M}
V ( P ) = G ∫ M 1 ‖ r ′ − r ‖ d M ( r ′ ) {\displaystyle V(P)=G\int _{M}{\frac {1}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}\,\mathrm {d} M(\mathbf {r'} )} と書ける[1]
‖ r ′ − r ‖ = r 1 − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 {\displaystyle \|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|=r{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}} で、 G {\displaystyle G} ニュートン の万有引力定数 である。
− 1 ≤ x ≤ + 1 {\displaystyle -1\leq x\leq +1} ( 1 + x ) − 1 / 2 = 1 − x / 2 + 3 x 2 / 8 + o ( x 3 ) {\displaystyle (1+x)^{-1/2}=1-x/2+3x^{2}/8+o(x^{3})} [2] x = − 2 ( r ′ / r ) cos ψ + ( r ′ / r ) 2 {\displaystyle x=-2(r'/r)\cos \psi +(r'/r)^{2}}
1 1 − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 = 1 + r ′ r cos ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 2 ( r ′ r ) 2 cos 2 ψ + o [ ( r ′ r ) 3 ] {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]} よって、
r ‖ r ′ − r ‖ = 1 + r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 − 3 2 ( r ′ r ) 2 sin 2 ψ + … {\displaystyle {\frac {r}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}\psi +\dots } が得られる[3] P {\displaystyle P}
V ( P ) = G r ∫ M d M + G r 2 ∫ M r ′ cos ψ d M + G r 3 ∫ M r ′ 2 d M − 3 G 2 r 3 ∫ M r ′ 2 sin 2 ψ d M + … {\displaystyle V(P)={\frac {G}{r}}\int _{M}\mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{2}}}\int _{M}r'\cos \psi \mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\mathrm {d} M-{\frac {3G}{2r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \mathrm {d} M+\dots } マッカラーの定理 [ 編集 ] このように万有引力ポテンシャルの2次までの近似 V ( P ) {\displaystyle V(P)} V 0 ( P ) {\displaystyle V_{0}(P)} V 1 ( P ) {\displaystyle V_{1}(P)} V 2 ( P ) {\displaystyle V_{2}(P)} V 3 ( P ) {\displaystyle V_{3}(P)}
V ( P ) = V 0 ( P ) + V 1 ( P ) + V 2 ( P ) + V 3 ( P ) . {\displaystyle V(P)=V_{0}(P)+V_{1}(P)+V_{2}(P)+V_{3}(P).} 第1項
V 0 = G r − 1 ∫ M d M = G M r − 1 {\displaystyle V_{0}=Gr^{-1}\int _{M}\,\mathrm {d} M=GMr^{-1}} は球対称な質量分布のポテンシャルに対応する。これは物体の全質量が1点に集められている場合と同じである。減少の度合 1/r が他の項と比べ緩やかであるため、非常に遠距離ではこの項が支配的となる。これは惑星のケプラー軌道 を確立するのに用いられた、古典的なニュートンポテンシャルである。単極子 （monopôle）、または単極子的質量分布（distribution de masse monopolaire）と呼ばれる。
第2項
V 1 = G r − 2 ∫ M r ′ cos ψ d M {\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M} は双極子 （dipôle）、または双極子的質量分布（distribution de masse dipolaire）に対応する。座標の原点を物体の質量中心に一致させると、この項は消える[4]
V 1 = G r − 2 ∫ M r ′ cos ψ d M = G r − 2 ∫ M x d M = G M r − 2 x 0 {\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M=Gr^{-2}\int _{M}x\,\mathrm {d} M=GMr^{-2}x_{0}} ここで x 0 {\displaystyle x_{0}}
第3項と第4項、 V 2 {\displaystyle V_{2}} V 3 {\displaystyle V_{3}} 四極子 （quadrupôle）、または四極子的質量分布（distribution de masse quadrupolaire）である。 V 2 {\displaystyle V_{2}}
V 2 = G r − 3 ∫ M r ′ 2 d M = G r − 3 ∫ M ( x 2 + y 2 + z 2 ) d M = 1 2 G r − 3 ∫ M [ ( y 2 + z 2 ) + ( x 2 + z 2 ) + ( x 2 + y 2 ) ] d M = 1 2 G r − 3 ( A + B + C ) {\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&=Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\,\mathrm {d} M=Gr^{-3}\int _{M}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\mathrm {d} M\\&={\frac {1}{2}}Gr^{-3}\int _{M}[(y^{2}+z^{2})+(x^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2})]\,\mathrm {d} M={\frac {1}{2}}Gr^{-3}(A+B+C)\end{aligned}}} となる。ここで A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} 慣性モーメント を表す。慣性モーメントの平均 I ¯ {\displaystyle {\bar {I}}}
I ¯ = 1 3 ( A + B + C ) {\displaystyle {\bar {I}}={\frac {1}{3}}(A+B+C)} とおくと、
V 2 = 3 2 G r − 3 I ¯ {\displaystyle V_{2}={\frac {3}{2}}Gr^{-3}{\bar {I}}} となる。 V 3 {\displaystyle V_{3}}
V 3 = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 sin 2 ψ d M = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 cos 2 α d M = − 3 2 G r − 3 I {\displaystyle V_{3}=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\cos ^{2}\alpha \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}I} ここで I {\displaystyle I} O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}}
V ( P ) = G M r − 1 − 3 2 G r − 3 ( I − I ¯ ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}(I-{\bar {I}})} この公式は、地球や他の惑星等の球状に近い物体に適用するのに非常に便利である。物体に何らかの対称性があれば、近似は十分遠距離でも有効である。明らかに、2次までの近似であることから有効な適用範囲には限界があり、外部重力場をさらに正確に表すためにはより高次の調和関数が必要になる。
対称性のある物体に対するマッカラーの公式 [ 編集 ] 質量中心を通る軸 O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} 対角化 することで得られる主慣性モーメント A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C}
I = n x 2 A + n y 2 B + n z 2 C {\displaystyle I=n_{x}^{2}A+n_{y}^{2}B+n_{z}^{2}C} と書くことができる。ここで n x {\displaystyle n_{x}} n y {\displaystyle n_{y}} n z {\displaystyle n_{z}} O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}}
物体が Oz-軸を中心に回転する（Oz について軸対称である）と仮定する。このとき A = B {\displaystyle A=B} ϕ {\displaystyle \phi } O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} [5] n z = sin ϕ {\displaystyle n_{z}=\sin \phi } n x 2 + n y 2 + n z 2 = 1 {\displaystyle n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1}
sin 2 ϕ = 1 − n x 2 − n y 2 {\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-n_{x}^{2}-n_{y}^{2}} である。 A = B {\displaystyle A=B}
V ( P ) = G M r − 1 − 1 2 G r − 3 ( 3 I − 2 A − C ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(3I-2A-C)} となる。慣性モーメント I は
I = A ( n x 2 + n y 2 ) + C sin 2 ϕ = A ( 1 − sin 2 ϕ ) + C sin 2 ϕ {\displaystyle I=A(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})+C\sin ^{2}\phi =A(1-\sin ^{2}\phi )+C\sin ^{2}\phi } となるから、回転体に対するマッカラーの公式は最終的に次の形になる [6]
V ( P ) = G M r − 1 + 1 2 G r − 3 ( C − A ) ( 1 − 3 sin 2 ϕ ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}+{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(C-A)(1-3\sin ^{2}\phi )} 地球の力学的形状係数 [ 編集 ] 軸対称性があるとき、万有引力ポテンシャルの多重極展開を2次まで行ったものは常に次の一般式で書ける。
V ( P ) = G M r − 1 − J 2 G M a 2 r − 3 P 2 ( cos θ ) = G M r − 1 − 1 2 J 2 G M a 2 r − 3 ( 1 − 3 sin 2 ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}V(P)&=GMr^{-1}-J_{2}GMa^{2}r^{-3}P_{2}(\cos \theta )\\&=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}J_{2}GMa^{2}r^{-3}(1-3\sin ^{2}\phi )\end{aligned}}} ここで
P 2 ( cos θ ) = 3 2 sin 2 ϕ − 1 2 , ( ϕ = π 2 − θ ) {\displaystyle P_{2}(\cos \theta )={\frac {3}{2}}\sin ^{2}\phi -{\frac {1}{2}},\quad (\phi ={\frac {\pi }{2}}-\theta )} は2次のルジャンドル多項式 である。地球の場合、2次の帯調和重力係数 J 2 {\displaystyle J_{2}}
J 2 = C − A M a 2 {\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}} この最後の関係式もマッカラーの公式と呼ばれることがある。
^ ここでは V {\displaystyle V} Φ = − V {\displaystyle \Phi =-V} Φ {\displaystyle \Phi } ^ 1 1 − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 = 1 − 1 2 [ − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 ] + 3 8 [ − 2 r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 ] 2 + … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1-{\frac {1}{2}}\left[-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right]+{\frac {3}{8}}\left[-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right]^{2}+\dots } = 1 + r ′ r cos ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 8 [ 4 ( r ′ r ) 2 cos 2 ψ − 4 ( r ′ r ) 3 cos ψ + ( r ′ r ) 4 ] + … {\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left[4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi -4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{4}\right]+\dots } = 1 + r ′ r cos ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 2 ( r ′ r ) 2 cos 2 ψ + o [ ( r ′ r ) 3 ] {\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]} ^ r ‖ r ′ − r ‖ = 1 + r ′ r cos ψ + 1 2 ( r ′ r ) 2 ( 3 cos 2 ψ − 1 ) + ⋯ = 1 + r ′ r cos ψ + 1 2 ( r ′ r ) 2 ( 3 − 3 sin 2 ψ − 1 ) + … {\displaystyle \textstyle {\frac {r}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}(3\cos ^{2}\psi -1)+\dots =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}(3-3\sin ^{2}\psi -1)+\dots } = 1 + r ′ r cos ψ + ( r ′ r ) 2 − 3 2 ( r ′ r ) 2 sin 2 ψ + … {\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}\psi +\dots } ^ このように、（近似を続けつつ）万有引力ポテンシャルの双極子項が消えるように座標軸の取り方を決めることで、地球の質量中心を正確に決定できる。 ^ 地球物理学の文脈では、 ϕ {\displaystyle \phi } ^ V ( P ) = G M r − 1 − 1 2 G r − 3 ( 3 I − 2 A − C ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(3I-2A-C)} = G M r − 1 − 1 2 G r − 3 ( 3 A − 3 A sin 2 ϕ + 3 C sin 2 ϕ − 2 A − C ) {\displaystyle =GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(3A-3A\sin ^{2}\phi +3C\sin ^{2}\phi -2A-C)} = G M r − 1 − 1 2 G r − 3 [ A − C − 3 ( A − C ) sin 2 ϕ ] {\displaystyle =GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}[A-C-3(A-C)\sin ^{2}\phi ]} = G M r − 1 + 1 2 G r − 3 ( C − A ) ( 1 − 3 sin 2 ϕ ) {\displaystyle =GMr^{-1}+{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(C-A)(1-3\sin ^{2}\phi )} 
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8646fe9300dcc2a950b30afecd145988312d61fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&=Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\,\mathrm {d} M=Gr^{-3}\int _{M}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\mathrm {d} M\\&={\frac {1}{2}}Gr^{-3}\int _{M}[(y^{2}+z^{2})+(x^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2})]\,\mathrm {d} M={\frac {1}{2}}Gr^{-3}(A+B+C)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1f649b80f79b20a4dab206a27901fec9351507)
![{\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1-{\frac {1}{2}}\left[-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right]+{\frac {3}{8}}\left[-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\right]^{2}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3125d15f2e5555d8b7c16310ce18829567daed87)
![{\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left[4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi -4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{4}\right]+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a149def4690a0dc3e181268742bb55aab8392545)
![{\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf99c19a710dc771e3527372b765bb475742fcb)
![{\displaystyle =GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}[A-C-3(A-C)\sin ^{2}\phi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf007b76e03467c6bacfbc9aa9171051cad9187)
