ブロッホ群

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数学において、ブロッホ群（英: Bloch group）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ（英語版） (Spencer Bloch) とアンドレイ・ススリン（英語版） (Андре́й Су́слин) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。

ブロッホ・ウィグナーの関数[編集]

二重対数関数（英語版）は |z| < 1 に対して次の冪級数で定義される。

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}}$

この冪級数から二重対数関数の積分表示

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}\log(1-t)\;{\frac {dt}{t}}}$

が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると z = 0 に分岐はないように見えるが、実は z = 1 を周回したシート上に z = 0 の分岐が現れる。）この積分表示によって Li₂(z) は ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ の普遍被覆空間に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

${\displaystyle D_{2}(z)=\Im (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log \left|z\right|}$

D₂(z) には次のような著しい性質がある。

• D₂(z) はモノドロミーを持たず ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$ 上の一価実解析的関数になる。
• ${\displaystyle D_{2}(z)=D_{2}\left({\frac {z-1}{z}}\right)=D_{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-D_{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left({\frac {z}{z-1}}\right).}$
• ${\displaystyle D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.}$

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である (Abel 1881)。

ブロッホ群の定義[編集]

K を体とし、${\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]}$ を ${\displaystyle K\setminus \{0,1\}}$ の元 x に対する [x] により Z 上生成された自由加群とする。また ${\displaystyle {\mathcal {D}}(K)}$ を

${\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}$

の形の元の生成する Z(K) の部分加群とし、${\displaystyle {\mathcal {A}}(K)=\mathbb {Z} (K)/{\mathcal {D}}(K)}$ と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を Z(C) に線形に拡張し、x = Σn_j[x_j] ∈ Z(C) に対して D₂(x) = Σn_jD₂(x_j) と定める。すると D₂ の 5項関係式は

${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(\mathbb {C} )\Rightarrow D_{2}(x)=0}$

と言い換えられ、従って D₂ は ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbb {C} )}$ 上定義される。さて、

${\displaystyle d\colon {\mathcal {A}}(K)\longrightarrow \wedge ^{2}(K^{\times })}$

を、${\displaystyle x\in K\setminus \{0,1\}}$ に対しては d[x] = x∧(1−x) と定め、これを Z(K) に線形に拡張したものとする。（d が ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上 well-defined であることをみるには ${\displaystyle {\mathcal {D}}(K)\subset \ker d}$ をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)}$ を

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(K)=\ker d}$

と定義する (Bloch 1978)。松本の定理により ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)}$ を 2次の代数的K群として ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(K)=\operatorname {coker} d}$ が知られている。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )}$ は D₂ の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

${\displaystyle x\in {\mathcal {B}}_{2}(\mathbb {C} )\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.}$

K₃ とブロッホ群の関係[編集]

K を無限体とする。このとき ${\displaystyle c=[x]+[1-x]\in {\mathcal {B}}_{2}(K)}$ は x の取り方に依らない。GM(K) を無限次単項行列のなす GL(K) の部分群、BGM(K)⁺ をキレンのプラス構成とすると、

${\displaystyle \operatorname {coker} \left[\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}{\mathcal {B}}_{2}(K)}$

が成り立つ (Suslin 1990)。ここで ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)=\pi _{3}(\operatorname {BGL} (K)^{+})}$ は 3次の代数的K群である。 さらに、ミルナーのK群を ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}^{M}}$ として、${\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }=\operatorname {coker} ({\mathcal {K}}_{3}^{M}(K)\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)),\;}$　${\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }}$ を ${\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })}$ のただ一つの非自明な Z/2Z 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }\longrightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }\longrightarrow {\mathcal {B}}_{2}(K)\longrightarrow 0.}$

3次元双曲幾何学との関係[編集]

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ブロッホ・ウィグナー関数 ${\displaystyle D_{2}(z)}$ は ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$ 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ を実3次元の双曲空間とし、${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}}$ と半空間表示する。${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ の無限遠点の全体 ${\displaystyle {\overline {\mathbb {H} ^{3}}}\setminus \mathbb {H} ^{3}}$ は ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$ とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1})}$ を無限遠点上の頂点として ${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\;}$ で表す。四面体の(符号付き)体積を ${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle }$ と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)}$

であり、特に ${\displaystyle D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle }$ である。${\displaystyle D_{2}(z)}$ の5項関係式は、退化した理想的 4単体 ${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})}$ の境界の体積が 0 であることと

${\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots ,{\hat {p}}_{i},\dots ,p_{4}\right\rangle =0}$

とは同値である。

加えて、3次元双曲多様体 ${\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$ が与えられると、

${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})}$

と分解する。ここに ${\displaystyle \Delta (z_{j})}$ は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}}$ 上の無限遠点にある。ここに ${\displaystyle z_{j}}$ は ${\displaystyle \operatorname {Im} z_{j}>0}$ となるある複素数である。各々の理想四面体は、${\displaystyle \operatorname {Im} z>0}$ となる複素数 ${\displaystyle z}$ （四面体の頂点の複比となるが、）に対し ${\displaystyle 0,1,z,\infty }$ を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ ${\displaystyle z}$ にのみ依存する。(Neumann & Zagier 1985) は、理想四面体 ${\displaystyle \Delta }$ に対し ${\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z),}$ ただし ${\displaystyle D_{2}(z)}$ はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、

${\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}}$

を得る。モストウの剛性定理は、${\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0}$ であるすべての ${\displaystyle j}$ に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。

一般化[編集]

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}}$ が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジー（英語版）と関係するということが、広く予想されている。また、(Neumann 2004)により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

参考文献[編集]

• Abel, N.H. (1881) [1826]. “Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots }$”. In Sylow, L.; Lie, S. (French). Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II. Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn. pp. 189–193. http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf  (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

• Bloch, S. (1978). “Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry”. In Nagata, M. Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry. Tokyo: Kinokuniya. pp. 103–114 

• Goncharov, A.B. (1991). “The classical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta-functions”. Bull. AMS. pp. 155–162. http://www.ams.org/journals/bull/1991-24-01/S0273-0979-1991-15975-6/S0273-0979-1991-15975-6.pdf 

• Neumann, W.D. (2004). “Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class”. Geometry and Topology. pp. 413–474. http://arxiv.org/abs/math/0307092 

• Neumann, W.D.; Zagier, D. (2004). “Volumes of hyperbolic three-manifolds”. Topology 24: 307-332. 

• Suslin, A.A. (1990). “${\displaystyle \operatorname {K} _{3}}$ of a field, and the Bloch group” (Russian). Trudy Mat. Inst. Steklov. pp. 180–199. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=1914&option_lang=eng 

• Zagier, D. (1990). “Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields”. In van der Geer, G.; Oort, F.; Steenbrink, J. Arithmetic Algebraic Geometry. Boston: Birkhäuser. pp. 391–430