ド・モアブルの定理 (ド・モアブルのていり、英 : de Moivre's theorem ; ド・モアブルの公式 (ド・モアブルのこうしき)ともいう)とは、複素数 (特に実数 )θ および整数 n に対して
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta } が成り立つという、複素数 と三角関数 に関する定理 である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない[1] 。数学的帰納法による証明では、三角関数 の加法定理 が利用される。
実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n 倍角の公式を内在的に含んでいる。
オイラーの公式 : e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } より、ド・モアブルの定理は複素指数函数 についての指数法則の一つ:
( e i θ ) n = e i n θ ( θ ∈ C , n ∈ Z ) {\displaystyle (e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,\,n\in \mathbb {Z} )} が成り立つことを意味している。
数学的帰納法による証明 [ 編集 ] 証明 — 1 . まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法 により証明する。
[i] n = 0 のとき
(左辺) = ( cos θ + i sin θ ) 0 = 1 {\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1} (右辺) = cos 0 + i sin 0 = 1 {\displaystyle =\cos 0+i\sin 0=1} よって n = 0 のときに本定理は成立する。
[ii] n − 1 のとき、すなわち
( cos θ + i sin θ ) n − 1 = cos ( n − 1 ) θ + i sin ( n − 1 ) θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta } が成り立つと仮定すると
( cos θ + i sin θ ) n = ( cos θ + i sin θ ) n − 1 ( cos θ + i sin θ ) = { cos [ ( n − 1 ) θ ] + i sin [ ( n − 1 ) θ ] } ( cos θ + i sin θ ) = { cos [ ( n − 1 ) θ ] cos θ − sin [ ( n − 1 ) θ ] sin θ } + i { sin [ ( n − 1 ) θ ] cos θ + cos [ ( n − 1 ) θ ] sin θ } = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} [注 1] ゆえに、n のときも本定理は成立する。 よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。
2 . 続いて n < 0 の場合を、1 . を利用して証明する。
n < 0 のとき、n = −m とおくと、m は自然数である。 1 . の結果より、m については定理の等式が成り立つから、
( cos θ + i sin θ ) n = ( cos θ + i sin θ ) − m = 1 ( cos θ + i sin θ ) m = 1 cos m θ + i sin m θ = cos m θ − i sin m θ ( cos m θ + i sin m θ ) ( cos m θ − i sin m θ ) = cos m θ − i sin m θ = cos ( − m θ ) + i sin ( − m θ ) = cos ( − m ) θ + i sin ( − m ) θ = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} [注 2] ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。 したがって、1 、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ[2] 。 (Q.E.D.)
複素数の積の性質による証明 [ 編集 ] 証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ , φ ∈ C に対して
( cos θ + i sin θ ) ( cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ ) + i ( sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ ) = cos ( θ + ϕ ) + i sin ( θ + ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}} が成り立つ[注 3] 。よって帰納的に
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta } が分かる[3] 。 (Q.E.D.)
オイラーの公式による証明 [ 編集 ] 証明 — オイラーの公式
e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } (θ は複素数) ならびに複素指数関数の指数法則 を用いても証明できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば
( cos θ + i sin θ ) n = ( e i θ ) n = e i n θ = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}} したがって
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}} が得られる[4] 。 (Q.E.D.)
指数が非整数の場合 [ 編集 ] ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る(多価関数 )からである(冪乗#指数・対数法則の不成立 参照)。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。
θ を実数、w を複素数とすると
{ exp ( i θ ) } w = exp { w log exp ( i θ ) } = exp { w i ( θ + 2 n π ) } = exp ( i w θ ) exp ( 2 n π i w ) {\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp\{w\log \exp(i\theta )\}=\exp\{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp(iw\theta )\exp(2n\pi iw)} (n は整数) である。したがって、w が整数であれば
{ exp ( i θ ) } w = exp ( i w θ ) ⋅ 1 = cos ( w θ ) + i sin ( w θ ) {\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp(iw\theta )\cdot 1=\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )} という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは cos ( w θ ) + i sin ( w θ ) {\displaystyle \cos(w\theta )+i\sin(w\theta )} を含む複数の値を取ることになる。
{exp(iθ )}w の値の取り方について、w が有理数であれば、w = a / b (a , b は互いに素)と表すと、2nwπ = 2π × na / b であるから、n = 0, 1, …, b − 1 で循環し、b 個の値を取る。w ∉ Q (無理数または虚数)ならば循環せず、可算無限 個の値を取る。
適用例 [ 編集 ] 虚数単位 の累乗 n を整数とすると、 i n = ( 0 + i ) n = ( cos π 2 + i sin π 2 ) n = cos n π 2 + i sin n π 2 {\displaystyle i^{n}=(0+i)^{n}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{n}=\cos {\frac {n\pi }{2}}+i\sin {\frac {n\pi }{2}}} ∴ i n = { 1 if n ≡ 0 ( mod 4 ) i if n ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if n ≡ 2 ( mod 4 ) − i if n ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \therefore \ i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}} n が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。 1の冪根 n を 2 以上の自然数とするとき、zn = 1 を満たす z を求める。 z の極形式を z = r (cos θ + i sin θ ) (r ≥ 0 , θ は実数)とする。 z n = { r ( cos θ + i sin θ ) } n = r n ( cos θ + i sin θ ) n = r n ( cos n θ + i sin n θ ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}&=\{r(\cos \theta +i\sin \theta )\}^{n}\\&=r^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )\\&=1\end{aligned}}} ∴ r n = 1 , n θ = 2 π k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r^{n}=1,\ n\theta =2\pi k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)} ∴ r = 1 , θ = 2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r=1,\ \theta ={\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)} ∴ z = cos 2 π n k + i sin 2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) ◼ {\displaystyle \therefore \ z=\cos {\frac {2\pi }{n}}k+i\sin {\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)\quad \blacksquare } 関連項目 [ 編集 ] ^ 等式の整理に加法定理 を利用した。 ^ 等式の整理に三角関数の負角公式 を利用した。 ^ これは変数を実数と考えると、複素平面の単位円上、偏角 θ の複素数に偏角 φ の複素数を掛けると偏角が θ + φ になることを意味する。 外部リンク [ 編集 ]