テータ関数

テータ関数（テータかんすう、英: theta function）は、

${\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}.}$

で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 ${\displaystyle \vartheta _{ab}(z,\tau )}$、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 ${\displaystyle \vartheta _{i}(z,\tau )}$ と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数は次のように定義される関数のことを指す^[1]。

${\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}.}$

テータ関数を z の関数と見た場合、周期 1 の周期関数である^[2]。

${\displaystyle \vartheta (z+1,\tau )=\vartheta (z,\tau ).}$

一般には以下の等式を満たす^[2]。

${\displaystyle \vartheta (z+m\tau +n,\tau )=e^{-\pi im^{2}\tau -2\pi imz}\vartheta (z,\tau ).}$

ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す^[3]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&:=\left({\frac {2k'K}{\pi }}\right)^{1/2}\exp \left(\int _{0}^{u}\mathrm {d} t~Z(t)\right),\\\Theta _{1}(u)&:=\Theta (u+K).\end{aligned}}}$

ただし、${\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}\,}}}$ は補母数、${\displaystyle K=K(k)}$ は 第1種完全楕円積分、${\displaystyle Z(u)}$ はヤコビのツェータ関数^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(u)&:={\mathcal {E}}(u)-{\frac {E(k)u}{K(k)}},\\{\mathcal {E}}(u)&:=\int _{0}^{u}\mathrm {d} t\,\mathrm {dn} ^{2}t=\int _{0}^{\mathrm {sn} u}\mathrm {d} t{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}=\int _{0}^{\mathrm {am} u}\mathrm {d} \theta {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)}$ はヤコビのイプシロン関数、 ${\displaystyle E(k)}$ は第2種完全楕円積分、 ${\displaystyle \mathrm {sn} \,u=\mathrm {sn} (u,k)}$, ${\displaystyle dn\,u=dn(u,k)}$ は ヤコビの楕円関数、${\displaystyle \mathrm {am} \,u=\mathrm {am} (u,k)}$ は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}H(u)&:=-i\exp \left((2u+iK')\pi i/(4K)\right)\Theta (u+iK'),\quad i:={\sqrt {-1\,}},\\H_{1}(u)&:=H(u+K),\end{aligned}}}$

を含めて、${\displaystyle \Theta (u)}$, ${\displaystyle \Theta _{1}(u)}$, ${\displaystyle H(u)}$, ${\displaystyle H_{1}(u)}$ のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある^[5]。ただし、${\displaystyle K':=K(k')}$ である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている^[5]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&=\vartheta _{0}(u/(2\omega _{1})),\quad \Theta _{1}(u)=\vartheta _{3}(u/(2\omega _{1})),\\H(u)&=\vartheta _{1}(u/(2\omega _{1}),\quad H_{1}(u)=\vartheta _{2}(u/(2\omega _{1})),\end{aligned}}}$

ただし、${\displaystyle \omega _{1}}$ は、楕円関数の基本周期の半分で、${\displaystyle \tau =\omega _{3}/\omega _{1}}$ である（${\displaystyle 2\omega _{1}}$, ${\displaystyle 2\omega _{3}}$ が楕円関数の基本周期に相当する）^[6]。

物理の教科書^[7]では後述の ${\displaystyle \vartheta _{i}(z,\tau )}$ をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

以下のように定義された、添え字を 2 つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ^[8]。

${\displaystyle \vartheta _{a,b}(z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i(n+a)^{2}\tau +2\pi i(n+a)(z+b)},\quad a,b\in \mathbb {R} .}$

なお、指標付きのテータ関数の定義には 2 つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない ^[9]。 この記事で使われているのは、Mumford 2006 で使われているのと同じ定義である^[9]。

楕円テータ関数（だえんテータかんすう、英: elliptic theta function）は、以下のように定義された関数である^[10]。 ただし、${\displaystyle \mathrm {Im} \,\tau >0}$, ${\displaystyle q:=e^{\pi i\tau }}$ である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v,\tau )&:=-\vartheta _{11}(v,\tau )=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\sin(2n+1)\pi v},\\\vartheta _{2}(v,\tau )&:=\vartheta _{10}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)v}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\cos(2n+1)\pi v,\\\vartheta _{3}(v,\tau )&:=\vartheta _{00}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\pi \tau n^{2}+2\pi inv}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\vartheta _{4}(v,\tau )&:=\vartheta _{01}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\end{aligned}}}$

楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。 フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が 1 から 4 ではなく、 0 から 3 である^[9]。 その場合は ${\displaystyle \vartheta _{1}(v,\tau )}$, ${\displaystyle \vartheta _{2}(v,\tau )}$, ${\displaystyle \vartheta _{3}(v,\tau )}$ の定義は変わらず、 ${\displaystyle \vartheta _{0}(v,\tau ):=\vartheta _{4}(v,\tau )}$ で定義される。 文脈から v あるいは τ が明らかな場合は ${\displaystyle \vartheta _{i}(v)}$ あるいは ${\displaystyle \vartheta _{i}(\tau )}$ と書き、更に${\displaystyle \vartheta _{i}=\vartheta _{i}(0,\tau )}$ と書く。Mathematica では、${\displaystyle \pi v}$ のことを v と書いている。

テータ関数は擬二重周期を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+1;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+{\pi }i}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\vartheta _{1}(v;\tau )\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(v+1;\tau )=-\vartheta _{2}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(v+1;\tau )=\vartheta _{3}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(v+1;\tau )=\vartheta _{4}(v;\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+\tau ;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})\tau }}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+1+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }i(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})-{\pi }i{\tau }-2{\pi }iv}}\\&=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{1}(v;\tau )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{2}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(v+\tau ;\tau )=e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{3}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(v+\tau ;\tau )=-e^{-{\pi }i\tau }e^{-2{\pi }i{v}}\vartheta _{4}(v;\tau )}$

ヤコビの三重積の公式により、

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+1/2\right)^{2}}e^{2{\pi }i(n+1/2)(v+1/2)}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}e^{{\pi }i{\tau }n+2{\pi }ivn+{\pi }in}}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=-ie^{{\pi }i{\tau }/4}e^{{\pi }iv}(1-e^{-2{\pi }iv})\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}(v;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\cos {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{2m{\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{4m{\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle |e^{2m{\pi }i{\tau }}|<1}$であるから${\displaystyle \vartheta _{3}(v;\tau )}$の零点は

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {2n'+1}{2}}+{\frac {2m'+1}{2}}\tau \end{aligned}}}$

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+m\tau \\&\vartheta _{2}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+m\tau \\&\vartheta _{3}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v={\frac {2n+1}{2}}+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\&\vartheta _{4}(v;\tau )=0\;\Leftrightarrow \;v=n+{\frac {2m+1}{2}}\tau \\\end{aligned}}}$

v = 0 のときのテータ関数の値をテータ定数（英: theta constant）あるいはテータ零値（独: Thetanullwerte）という。これは定数といいながら実は τ の関数である。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}=\vartheta _{2}(0;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}=\vartheta _{3}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}=\vartheta _{4}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \vartheta _{1}=\vartheta _{1}(0;\tau )=0}$であるから、代わりに導関数を用いる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}'&=\left[{\frac {d}{dv}}\vartheta _{1}(v;\tau )\right]_{v=0}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\pi \cos(0)\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}+2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin(0){\frac {d}{dv}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2{\pi }e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle c=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}/\vartheta _{1}'}$とすると

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}$

となるが、オイラーの分割恒等式により、

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{-1}}$

であるから c = 1 であり、故に ${\displaystyle \vartheta _{1}'=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}}$ である。

テータ関数の間で次の恒等式が成立する。

${\displaystyle \vartheta _{3}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {in}(v+1/2)}=\vartheta _{4}(v,\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{2}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }(n+1/2)^{2}+2\pi {i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta _{1}(v,\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}\left(v+{\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {in}(v+\tau /2)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }(n+1/2)^{2}-\pi {i\tau }/4+2\pi {i(n+1/2)v}-\pi {iv}}=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{-\pi {iv}}\vartheta _{2}(v,\tau )}$

擬二重周期と併せて

${\displaystyle \vartheta _{1}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\pm \vartheta _{2}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{2}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\mp \vartheta _{1}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{4}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}\left(v\pm {\frac {1}{2}},\tau \right)=\vartheta _{3}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{1}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\pm {i}e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{4}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{2}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{3}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{3}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{2}(v;\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}\left(v\pm {\frac {\tau }{2}},\tau \right)=\pm {i}e^{-\pi {i\tau }/4}e^{\mp \pi {i}v}\vartheta _{1}(v;\tau )}$

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=ie^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{1}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{2}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{4}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right),\\\vartheta _{4}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)&=e^{-i\pi /4}\tau ^{1/2}e^{\pi iv^{2}/\tau }\vartheta _{2}\left(v,\tau \right).\end{aligned}}}$

他に τ を変換するものとして

${\displaystyle \vartheta _{3}\left(v,\tau +1\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}(\tau +1)n^{2}+2\pi {i}nv}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}=\vartheta _{4}(v,\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n)^{2}}+2\pi {i}(2n)v}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n+1)^{2}}+2\pi {i}(2n+1)v}\qquad ({n}\mapsto {2n,2n+1})\\&=\vartheta _{3}\left(2v,4\tau \right)+\vartheta _{2}\left(2v,4\tau \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}\left(v,\tau \right)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}+2\pi {i}nv}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n)^{2}}+2\pi {i}(2n)v}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(2n+1)^{2}}+2\pi {i}(2n+1)v}\qquad ({n}\mapsto {2n,2n+1})\\&=\vartheta _{3}\left(2v,4\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2v,4\tau \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {m^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {n^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(m^{2}+n^{2})}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((m+n)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}+\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}+\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i}\tau {m^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi {i}\tau {n^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+n}e^{\pi {i}\tau {(m^{2}+n^{2})}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+n}e^{\pi {i}\tau \left((m+n)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}-\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)^{2}&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(m+1/2)^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {(n+1/2)^{2}}}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau {\left((m+1/2)^{2}+(n+1/2)^{2}\right)}}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((m+n+1)^{2}+(m-n)^{2}\right)/2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+1)^{2}+(2n)^{2}\right)/2}+\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i}\tau \left((2m+2)^{2}+(2n+1)^{2}\right)/2}\qquad (\left\lfloor \textstyle {\frac {m+n}{2}}\right\rfloor \mapsto {m},\left\lfloor \textstyle {\frac {m-n}{2}}\right\rfloor \mapsto {n})\\&=2\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)\end{aligned}}}$

これにより

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)^{4}-\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)^{4}&=\left(\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}+\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\right)^{2}-\left(\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}-\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\right)^{2}\\&=4\vartheta _{3}\left(0,2\tau \right)^{2}\vartheta _{2}\left(0,2\tau \right)^{2}\\&=\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)^{4}\end{aligned}}}$

次の恒等式はランデンの公式 (Landen's formula) という。

${\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{4}(2v,2\tau )=\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{1}(2v,2\tau )=\vartheta _{2}(v,\tau )\vartheta _{1}(v,\tau )}$

第一式の右辺を展開すれば

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )&=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {inv}}\right)\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i\tau }m^{2}+2\pi {imv}}\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}e^{\pi {i\tau }(n^{2}+m^{2})+2\pi {i(n+m)v}}\\\end{aligned}}}$

となるが、${\displaystyle {n}\pm {m}}$ が奇数の項は ${\displaystyle {n}\gtrless {m}}$ で打ち消し合うから

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )&=\sum _{n'=-\infty }^{\infty }\sum _{m'=-\infty }^{\infty }(-1)^{n'-m'}e^{2\pi {i\tau }(n'^{2}+m'^{2})+4\pi {in'v}}\qquad ({n}\mapsto {n'+m'},{m}\mapsto {n'-m'})\\&=\left(\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(-1)^{n'}e^{2\pi {i\tau }n'^{2}+4\pi {in'v}}\right)\left(\sum _{m'=-\infty }^{\infty }(-1)^{m'}e^{2\pi {i\tau }m'^{2}}\right)\\&=\vartheta _{4}(2v,2\tau )\vartheta _{4}(0,2\tau )\end{aligned}}}$

となり、左辺を得る。第二式は第一式に ${\displaystyle v'=v+\textstyle {\frac {\tau }{2}}}$ を代入して得られる。