シュタイニッツ数

その他の超自然数については「超自然数」をご覧ください。

数学における超自然数 (super­natural number), 一般化された自然数 (generalized natural number) あるいはシュタイニッツ数（シュタイニッツすう、英: Steinitz number）は、自然数の一つの一般化である。この超自然数は1910年にエルンスト・シュタイニッツ（英語版） が体論に関する研究の一部として用いた^[1]。

定義[編集]

超自然数 ω とは、すべての素数を亙る形式的な積

$${\displaystyle \omega =\prod _{p}p^{n_{p}}}$$

• n_p = ∞ となる p が無く、かつ有限個の例外を除く全ての n^p が零となるならば、この超自然数は正整数という意味での通常の自然数を表すものと理解できる。
• やや直観からは外れるが、すべての p に対して n_p = ∞ となるとき、その超自然数は 0 を表すものとする。

この超自然数の概念は、「無限個の素因数を持つことができる」「（対応する冪指数が ∞ とすれば）任意に与えられた素数で“無限回”割り切れる」といった状況を許容するという点で、通常の自然数よりも拡張された取り扱いができる。

演算[編集]

超自然数の間の自然な加法というものは存在しないが、乗法は単純に

$${\displaystyle (\prod _{p}p^{n_{p}})\cdot (\prod _{p}p^{m_{p}}):=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}}$$

$${\displaystyle \omega _{1}\mid \omega _{2}:\!\iff v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})\quad (\forall p)}$$

$${\displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\}):=\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))},\quad \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\}):=\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}}$$

自然数に対する通常のp-進付値（位数）函数も、各 p に対する v_p(ω) = n_p によって超自然数まで拡張できる。

応用[編集]

超自然数は、副有限群およびその部分群の位数および指数を定義することに用いられ、それにより有限群論における多くの定理がそのままの形でそれらの群に関する定理として持ち込める。それらは有限体の代数拡大を捉えることに利用できる^[2]。また、無平方数の密度や奇完全数の上界などの数論的証明の多くで暗に用いられている。^[要出典]

関連項目[編集]

• 副有限整数（英語版）

注[編集]

注釈[編集]

出典[編集]

参考文献[編集]

• Brawley, Joel V.; Schnibben, George E. (1989). Infinite algebraic extensions of finite fields. Contemporary Mathematics. 95. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 23–26. ISBN 0-8218-5101-2. Zbl 0674.12009 
• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 125. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Field arithmetic. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3rd ed.). Springer-Verlag. p. 520. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 

外部リンク[編集]

• supernatural number - PlanetMath.（英語）

表 話 編 歴 数の体系
可算な体系	自然数 (${\displaystyle \mathbb {N} }$) 整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) 有理数 (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) 作図可能数 代数的数 (${\displaystyle \mathbb {A} }$) 周期 計算可能数 定義可能実数 算術数（英語版） ガウス整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$) アイゼンシュタイン整数 (${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$)
合成代数	通常型 実数 (${\displaystyle \mathbb {R} }$) 複素数 (${\displaystyle \mathbb {C} }$) 四元数 (${\displaystyle \mathbb {H} }$) 八元数 (${\displaystyle \mathbb {O} }$) 分解型 /${\displaystyle \mathbb {R} }$ 分解型複素数 分解型四元数（英語版） 分解型八元数 /${\displaystyle \mathbb {C} }$ 双複素数 双四元数（英語版） 双八元数
その他の多元数	二重数 二重四元数（英語版） 双曲四元数（英語版） 十六元数 (${\displaystyle \mathbb {S} }$) 分解型双四元数（英語版） 多重複素数
その他	基数 無理数 ファジー数（英語版） 超実数 レヴィ＝チヴィタ体 超現実数 超越数 順序数 p-進数 (${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) シュタイニッツ数 準超実数
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