Teorema di Pascal

In geometria, il teorema di Pascal, di Blaise Pascal, è uno dei teoremi base della teoria delle coniche. Premesso che sei punti ordinati $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , $A_{5}$ , $A_{6}$ di una conica individuano un esagono inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrivibile in una conica.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Per cinque punti generici passa una sola conica[modifica | modifica wikitesto]

Un risultato classico della teoria delle coniche afferma che per 5 punti generici passa una sola conica. Per "generici" si intende in questo caso che i 5 punti devono essere distinti, e che fra di loro non ve ne sono 4 allineati, cioè giacenti sulla stessa retta: l'aggettivo "generico" suggerisce che 5 punti "presi a caso" soddisfano certamente questa proprietà.

Condizione sul sesto punto[modifica | modifica wikitesto]

Cinque punti generici determinano quindi una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica:

Siano $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ , $A_{5}$ , $A_{6}$ sei punti nel piano e siano $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ i punti comuni, rispettivamente, alle rette $A_{1}A_{2}$ e $A_{4}A_{5}$ , alle rette $A_{3}A_{4}$ e $A_{6}A_{1}$ , alle rette $A_{2}A_{3}$ e $A_{5}A_{6}$ .

I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti $B_{1}$ , $B_{2}$ , $B_{3}$ appartengono ad una retta, chiamata retta di Pascal.

Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una conica degenere, cioè l'unione di due rette, si traduce nel teorema di Pappo-Pascal.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1847 il teorema fu generalizzato da August Ferdinand Möbius: posto che un poligono con $4n+2$ lati sia iscritto in una conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in $2n+1$ punti. Se $2n$ di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.