Teorema del rango

In algebra lineare, il teorema del rango, detto anche teorema di nullità più rango, o teorema della dimensione, afferma che la somma tra la dimensione dell'immagine e la dimensione del nucleo di una trasformazione lineare è uguale alla dimensione del dominio di tale trasformazione lineare; equivalentemente, la somma del rango e della nullità di una matrice è uguale al numero di colonne della matrice.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali, con l'ipotesi che lo spazio vettoriale di partenza abbia dimensione finita.

Data una applicazione lineare fra spazi vettoriali:

${\displaystyle f\colon \ V\to W}$

il teorema stabilisce che vale la relazione:^[1]

${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n}$

dove ${\displaystyle {\textrm {Im}}(f)}$ e ${\displaystyle {\textrm {Ker}}(f)}$ sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle n}$ è la dimensione di ${\displaystyle V}$.

In modo equivalente, se ${\displaystyle A}$ è una matrice ${\displaystyle m\times n}$ allora:

${\displaystyle \operatorname {rk} (A)+\operatorname {null} (A)=n}$

Dove ${\displaystyle \operatorname {rk} (A)}$ indica il rango di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle \operatorname {null} (A)}$ indica la nullità di ${\displaystyle A}$, cioè la ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (A)}$, o indice di nullità.

L'equivalenza degli enunciati deriva dal fatto che ogni applicazione lineare ${\displaystyle f\colon \ \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{m}}$, con ${\displaystyle \mathbb {K} }$ campo arbitrario, può essere scritta, passando in coordinate rispetto a due basi fissate, nel seguente modo: ^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} ,}$

dove ${\displaystyle A}$ è la matrice di trasformazione associata ad ${\displaystyle f}$ rispetto a due date basi dei due spazi vettoriali.

Il nucleo di ${\displaystyle f}$ è lo spazio delle soluzioni del sistema di equazioni lineari omogeneo associato alla matrice ${\displaystyle A}$, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle sue colonne ${\displaystyle A^{1},\ldots ,A^{n}}$.^[3]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Poiché ${\displaystyle V}$ ha dimensione finita, il sottospazio vettoriale ${\displaystyle {\textrm {Ker}}(f)}$ ha anch'esso dimensione finita. Il nucleo ha quindi una base:

${\displaystyle B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r})}$

Per il teorema della base incompleta esistono ${\displaystyle \mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$ tali che:

${\displaystyle B'=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r},\mathbf {v} _{r+1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

sia una base di ${\displaystyle V}$. Per concludere è sufficiente mostrare che i vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

formano una base di ${\displaystyle {\textrm {Im}}(f)}$. L'immagine è generata dai vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{r}),f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

I primi ${\displaystyle r}$ vettori sono però nulli (per definizione di Ker), quindi l'immagine è generata dagli ultimi ${\displaystyle n-r}$ vettori:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$

Resta quindi da verificare l'indipendenza lineare di questi vettori. Si suppone quindi data una combinazione lineare nulla:

${\displaystyle \lambda _{r+1}f(\mathbf {v} _{r+1})+\ldots +\lambda _{n}f(\mathbf {v} _{n})=0}$

Per linearità si ottiene:

${\displaystyle f(\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=0}$

Quindi:

${\displaystyle \lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\in \operatorname {Ker} (f)}$

Poiché questo vettore sta nel nucleo, è esprimibile come combinazione lineare dei vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{r}}$:

${\displaystyle \lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}}$

In altre parole:

${\displaystyle -\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}-\ldots -\alpha _{n}\mathbf {v} _{r}+\lambda _{r+1}\mathbf {v} _{r+1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=0}$

Poiché ${\displaystyle (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ è una base di ${\displaystyle V}$, tutti i coefficienti qui presenti sono nulli. In particolare, ${\displaystyle \lambda _{j}=0}$ per ogni ${\displaystyle j}$.

Quindi i vettori ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{r+1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ sono effettivamente indipendenti. L'immagine ha quindi dimensione ${\displaystyle n-r}$. Pertanto:

${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} (f))=n-r=\dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} (f))}$

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema del rango può essere visto come corollario al primo teorema di isomorfismo:

${\displaystyle V/\operatorname {Ker} f\cong \operatorname {Im} f}$

dove ${\displaystyle f}$ è un omomorfismo di gruppi (in particolare, di spazi vettoriali) che agisce su ${\displaystyle V}$. Si ha infatti:

${\displaystyle \dim(V/\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)}$

${\displaystyle \dim(V)-\dim(\operatorname {Ker} f)=\dim(\operatorname {Im} f)}$

che è l'asserto del teorema.

Applicazioni lineari iniettive - suriettive - biunivoche[modifica | modifica wikitesto]

Data un'applicazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to W,}$ con ${\displaystyle \dim(V)=n}$ e ${\displaystyle \dim(W)=m,}$ essa è:

• iniettiva se e solo se ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (f)=0;}$
• suriettiva se e solo se ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)=m;}$
• biiettiva se ${\displaystyle m=n}$ e sono verificate entrambe le precedenti condizioni.

Ne segue quindi che, se ${\displaystyle m=n}$, l'applicazione lineare è iniettiva se e solo se è suriettiva.

Inoltre, in base alle dimensioni ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, si ha che:

• se ${\displaystyle n>m,}$ l'applicazione lineare non sarà mai iniettiva, poiché ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} (f)>0;}$
• se ${\displaystyle n<m,}$ l'applicazione lineare non sarà mai suriettiva, poiché ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)<m.}$

Caso di dimensione infinita[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo il caso particolare in cui l'applicazione lineare è un endomorfismo, cioè una applicazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to V}$ dallo spazio ${\displaystyle V}$ in sé stesso. La relazione appena dimostrata:

${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (f)+\dim \operatorname {Ker} (f)=n}$

dice che l'iniettività e la suriettività dell'applicazione si implicano a vicenda.

Nel caso infinito questo cessa di essere vero. Ad esempio, considerando:

${\displaystyle \displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }:=\{(x_{1},x_{2},\dots )\quad x_{i}\in \mathbb {R} \quad \forall i\in \mathbb {N} \}}$

come spazio vettoriale su ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e l'applicazione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }}$ che agisce "spostando" in avanti le coordinate e mettendo lo zero in prima posizione, cioè:

${\displaystyle \displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\to (0,x_{1},x_{2},\dots )}$

è immediato mostrare che tale applicazione è lineare e iniettiva, ma banalmente non suriettiva.

Riformulazioni e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

In linguaggio più moderno, il teorema può essere espresso nel seguente modo. Se:

${\displaystyle \displaystyle \ 0\rightarrow U\rightarrow V\rightarrow R\rightarrow 0}$

è una successione esatta corta di spazi vettoriali, allora:

${\displaystyle \displaystyle \ \dim(U)+\dim(R)=\dim(V)}$

Qui ${\displaystyle R}$ gioca il ruolo di ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ e ${\displaystyle U}$ è ${\displaystyle \operatorname {ker} T}$.

Nel caso finito-dimensionale questa formulazione è suscettibile di generalizzazione. Se:

${\displaystyle \displaystyle \ 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \dots \rightarrow V_{r}\rightarrow 0}$

è una successione esatta di spazi vettoriali a dimensioni finite, allora:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0}$

Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita può anche essere formulato in termini degli indici di una mappa lineare. L'indice di una mappa lineare ${\displaystyle T\colon V\to W}$, dove ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ sono di dimensione finita, è definito da:

${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim(\operatorname {ker} T)-\dim(\operatorname {coker} T)}$

Intuitivamente, ${\displaystyle \dim \operatorname {ker} T}$ è il numero di soluzioni indipendenti ${\displaystyle x}$ dell'equazione ${\displaystyle Tx=0}$, e ${\displaystyle \dim \operatorname {coker} T}$ è il numero di restrizioni indipendenti che devono essere poste su ${\displaystyle y}$ per rendere ${\displaystyle Tx=y}$ risolvibile. Il teorema del rango per gli spazi vettoriali di dimensione finita è equivalente all'espressione:

${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim(V)-\dim(W)}$

Si vede che possiamo facilmente leggere l'indice della mappa lineare ${\displaystyle T}$ dagli spazi coinvolti, senza la necessità di esaminare ${\displaystyle T}$ in dettaglio. Questo effetto si trova anche in un risultato molto più profondo: il teorema dell'indice di Atiyah-Singer afferma che l'indice di determinati operatori differenziali può essere letto dalla geometria degli spazi coinvolti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• Philippe Ellia, Appunti di Geometria I, Bologna, Pitagora Editrice, 1997. ISBN 88-3710958-X
• (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2000, ISBN 978-0-89871-454-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Dominio (matematica)
• Immagine (matematica)
• Matrice
• Nucleo (matematica)
• Rango (algebra lineare)
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema del rango, su MathWorld, Wolfram Research.

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