Teorema del confronto di Sturm-Picone

In matematica, nel campo delle equazioni differenziali ordinarie, il teorema del confronto di Sturm–Picone, che prende nome da Jacques Sturm e Mauro Picone, è un noto teorema che permette di ricavare informazioni sul comportamento delle soluzioni di equazioni differenziali lineari confrontandole con le soluzioni di equazioni simili.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano $p_{1}$ , $p_{2}$ , $q_{1}$ e $q_{2}$ funzioni continue a valori reali definite nell'intervallo $[a,b]$ , e siano:

(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0

(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0

due equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta con:

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)\qquad q_{1}(x)\leq q_{2}(x)

Sia $u$ una soluzione non-banale della prima equazione avente due radici successive in $z_{1}$ e $z_{2}$ . Sia, inoltre, $v$ una soluzione non-banale della seconda. Allora vale una delle seguenti proprietà:

Esiste $x\in [z_{1},z_{2}]$ tale che $v(x)=0$
Esiste $\lambda \in \mathbb {R}$ tale che $v(x)=\lambda u(x)$ .

La prima parte della tesi venne dimostrata da Sturm, nel 1836^[1]. L'enunciato completo è dovuto a Picone (1910)^[2]^[3], la cui semplice dimostrazione si basa sull'utilizzo dell'identità di Picone. Nel caso particolare in cui le due equazioni siano identiche si ottiene il teorema di separazione di Sturm. Il teorema è stato poi esteso a sistemi di equazioni ordinarie e a equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico.