In analisi matematica , le operazioni con i limiti sono delle operazioni volte a calcolare il limite di un oggetto (solitamente una successione o funzione ) a partire dal limite di oggetti più semplici, tramite operazioni aritmetiche come somma e prodotto.
Siano:
f : X f ⊆ R → R g : X g ⊆ R → R {\displaystyle f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \qquad g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } due funzioni definite su domini X f , X g {\displaystyle X_{f},X_{g}} non disgiunti, e sia x 0 {\displaystyle x_{0}} un punto di accumulazione per X f ∩ X g {\displaystyle X_{f}\cap X_{g}} .
Se esistono i limiti:
lim x → x 0 f ( x ) = l 1 lim x → x 0 g ( x ) = l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\quad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}} allora:
lim x → x 0 ( c ⋅ f ( x ) ) = c ⋅ l 1 c ∈ R {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R} } lim x → x 0 ( f ( x ) ± g ( x ) ) = l 1 ± l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}} lim x → x 0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = l 1 ⋅ l 2 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}} lim x → x 0 1 f ( x ) = 1 l 1 se l 1 ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad {\mbox{se }}l_{1}\neq 0} lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = l 1 l 2 se l 2 ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad {\mbox{se }}l_{2}\neq 0} Nei due ultimi punti, le frazioni si intendono definite solo dove il denominatore è non nullo.
Preso:
| f ( x ) − l 1 | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon } si ottiene direttamente:
c ⋅ | f ( x ) − l 1 | < c ⋅ ϵ → | c ⋅ f ( x ) − c ⋅ l 1 | < c ⋅ ϵ {\displaystyle c\cdot \left|f(x)-l_{1}\right|<c\cdot \epsilon \to \left|c\cdot f(x)-c\cdot l_{1}\right|<c\cdot \epsilon } a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Presi:
| f ( x ) − l 1 | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon } e | g ( x ) − l 2 | < ϵ {\displaystyle \left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon } dall'espressione:
| f ( x ) ± g ( x ) − ( l 1 ± l 2 ) | {\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|} per la disuguaglianza triangolare si ottiene:
| f ( x ) ± g ( x ) − ( l 1 ± l 2 ) | < | f ( x ) − l 1 | + | g ( x ) − l 2 | {\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<\left|f(x)-l_{1}\right|+\left|g(x)-l_{2}\right|} | f ( x ) ± g ( x ) − ( l 1 ± l 2 ) | < 2 ⋅ ϵ {\displaystyle \left|f(x)\pm g(x)-\left(l_{1}\pm l_{2}\right)\right|<2\cdot \epsilon } a questo punto il teorema è dimostrato perché concorda con la definizione di limite.
Preso:
f ( x ) ⋅ g ( x ) − l 1 ⋅ l 2 {\displaystyle f(x)\cdot g(x)-l_{1}\cdot l_{2}} aggiungendo e togliendo g ( x ) ⋅ l 1 {\displaystyle g(x)\cdot l_{1}} si ottiene:
g ( x ) ⋅ ( f ( x ) − l 1 ) + l 1 ⋅ ( g ( x ) − l 2 ) {\displaystyle g(x)\cdot \left(f(x)-l_{1}\right)+l_{1}\cdot \left(g(x)-l_{2}\right)} posti:
| f ( x ) − l 1 | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-l_{1}\right|<\epsilon } e | g ( x ) − l 2 | < ϵ {\displaystyle \left|g(x)-l_{2}\right|<\epsilon } Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui l 1 {\displaystyle l_{1}} e/o l 2 {\displaystyle l_{2}} sia infinito. Ad esempio, se l 1 = ± ∞ {\displaystyle l_{1}=\pm \infty } e l 2 {\displaystyle l_{2}} è finito, valgono le relazioni seguenti:
f ( x ) → ± ∞ , c > 0 → lim x → x 0 ( c ⋅ f ( x ) ) = ± ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c>0\to \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\pm \infty } f ( x ) → ± ∞ , c < 0 → lim x → x 0 ( c ⋅ f ( x ) ) = ∓ ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,c<0\to \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=\mp \infty } f ( x ) → ± ∞ → lim x → x 0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = ± ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\pm \infty } f ( x ) → ± ∞ → lim x → x 0 ( f ( x ) − g ( x ) ) = ± ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}(f(x)-g(x))=\pm \infty } f ( x ) → ± ∞ → lim x → x 0 1 f ( x ) = 0 ± {\displaystyle f(x)\to \pm \infty \to \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=0^{\pm }} f ( x ) → 0 ± → lim x → x 0 1 f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle f(x)\to 0^{\pm }\to \lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{f(x)}}=\pm \infty } f ( x ) → ± ∞ , l > 0 → lim x → x 0 ( g ( x ) ⋅ f ( x ) ) = ± ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l>0\to \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\pm \infty } f ( x ) → ± ∞ , l < 0 → lim x → x 0 ( g ( x ) ⋅ f ( x ) ) = ∓ ∞ {\displaystyle f(x)\to \pm \infty ,\,l<0\to \lim _{x\to x_{0}}(g(x)\cdot f(x))=\mp \infty } Questo fatto giustifica l'utilizzo di scritture come:
l ⋅ ± ∞ = ± ∞ {\displaystyle l\cdot \pm \infty =\pm \infty } (se l > 0 {\displaystyle l>0} ) ± ∞ + l = ± ∞ {\displaystyle \pm \infty +l=\pm \infty } + ∞ + ∞ = + ∞ {\displaystyle +\infty +\infty =+\infty } + ∞ ⋅ ± ∞ = ± ∞ {\displaystyle +\infty \cdot \pm \infty =\pm \infty } (seguendo la regola dei segni convenzionale) l ± ∞ = 0 ± {\displaystyle {\frac {l}{\pm \infty }}=0^{\pm }} (se l > 0 {\displaystyle l>0} ) Una forma indeterminata è invece un caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione. Questo accade in presenza di espressioni del tipo:
+ ∞ − ∞ 0 ⋅ ± ∞ ± ∞ ± ∞ 0 0 {\displaystyle +\infty -\infty \qquad 0\cdot \pm \infty \qquad {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\qquad {\frac {0}{0}}} (EN ) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964 (EN ) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)