Logica polivalente

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Le logiche polivalenti sono estensioni della logica classica in cui sono presenti più valori di verità rispetto ai canonici vero, falso e pertanto in esse non vale il principio del terzo escluso. Le prime logiche polivalenti furono proposte negli anni 1920 da Emil Post e da Jan Łukasiewicz e in esse erano presenti tre valori di verità: vero, falso, problematico.

Logiche ad infiniti valori di verità[modifica | modifica wikitesto]

Successivamente si è giunti a proporre logiche ad infiniti valori di verità quali:

• la logica ad infiniti valori di Lukasiewicz;
• la cosiddetta logica fuzzy di Zadeh;
• la logica (fuzzy) polivalente di Gödel;
• la logica (fuzzy) prodotto.

Logica polivalente di Gödel[modifica | modifica wikitesto]

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=min(v(x),v(y))}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=max(v(x),v(y))}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

Logica polivalente prodotto[modifica | modifica wikitesto]

In tale formulazione si hanno le seguenti::

${\displaystyle x\,\operatorname {AND} \,y=v(x)v(y)}$

${\displaystyle x\,\operatorname {OR} \,y=v(x)+v(y)-v(x)v(y)}$

${\displaystyle \operatorname {NOT} \,x=1}$ se ${\displaystyle v(x)=0}$ e ${\displaystyle 0}$ altrimenti.

Logiche polivalenti e doppia negazione[modifica | modifica wikitesto]

È interessante osservare come nelle logiche "fuzzy" di Gödel e "fuzzy" prodotto si neghi il principio della doppia negazione, come anche nella logica intuizionista, al fine di mantenere vera la forma standard del principio di non-contraddizione. In particolare, a causa della particolare definizione dell'operatore NOT si hanno:

P → ¬¬P è un teorema

¬¬P → P non è teorema.

¬P → ¬¬¬P è un teorema.

¬¬¬P → ¬P è un teorema.

Logiche generiche. T-norma[modifica | modifica wikitesto]

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Una T-norma o norma triangolare o AND generalizzato è una applicazione T: [0,1] × [0,1] → [0,1] che soddisfa i seguenti requisiti:

• Commutatività: T(a, b) = T(b, a);
• Monotonia: T(a, b) ≤ T(c, d) se a ≤ c e b ≤ d;
• Associatività: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c);
• Elemento nullo: T(a, 0) = 0;
• 1 agisce come elemento identità: T(a, 1) = a.

Le t-norme sono state utilizzate per interpretare il connettivo di congiunzione.

Esempi di t-norme sono il minimo, il prodotto e la t-norma di Lukasiewicz definita da T(x,y)=max(0,x+y-1).

Se la t-norma è una funzione continua a sinistra, allora è possibile definire la funzione x → y = max { z: T(x,z) ≤ y } che può essere utilizzata per interpretare in connettivo di implicazione. Avendo a disposizione l'implicazione si può definire la negazione come ¬x = x → 0.

Nel caso in cui si parte dalla t-norma di Lukasiewicz, si ottiene: x → y = min{ 1, 1-x+y} (implicazione di Lukasiewicz) e ¬x = 1-x (negazione involutiva).

Nota che la negazione involutiva è tale che ¬¬x=x.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Logica fuzzy
• principio del terzo escluso
• principio di bivalenza

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• (EN) Petr Cintula, Christian G. Fermüller, Carles Noguera, Fuzzy logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.
• (EN) Siegfried Gottwald, Many-valued logic, in Edward N. Zalta (a cura di), Stanford Encyclopedia of Philosophy, Center for the Study of Language and Information (CSLI), Università di Stanford.

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