Integrale di Frullani

Gli integrali di Frullani sono integrali definiti della forma^[1]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x}$

dove ${\displaystyle {f(x)}}$ è una funzione per ${\displaystyle {x\geq 0}}$ e il limite di ${\displaystyle {f(x)}}$ esiste a ${\displaystyle {\infty }}$.

La seguente formula per la loro soluzione generale vale solo se ${\displaystyle f'(x)}$ è una funzione continua e l'integrale converge^[2]:

${\displaystyle {\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x=(f(0)-f(\infty ))\ln {\frac {b}{a}}}}$

Una dimostrazione di questa formula si ha utilizzando il Teorema Fondamentale del Calcolo e il Teorema di Fubini^[3].

Gli integrali prendono il nome dal matematico italiano Giuliano Frullani.

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• G. Boros, V. Moll, Irresistible Integrals (2004), pp. 98
• Juan Arias-de-Reyna, Sul teorema di Frullani (PDF; 884   kB), Proc. AMS 109 (1990), 165-175.

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