Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale In matematica , nel campo della teoria degli insiemi , se A {\displaystyle A} è un sottoinsieme dell'insieme X {\displaystyle X} , la funzione indicatrice , o funzione caratteristica di A {\displaystyle A} è quella funzione da X {\displaystyle X} all'insieme { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} che sull'elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} vale 1 {\displaystyle 1} se x {\displaystyle x} appartiene ad A {\displaystyle A} , e vale 0 {\displaystyle 0} in caso contrario.
La funzione indicatrice di un sottoinsieme A {\displaystyle A} di X {\displaystyle X} è una funzione
1 A : X → { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace } definita come
1 A ( x ) = { 1 se x ∈ A 0 se x ∉ A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A\end{matrix}}\right.} La funzione indicatrice di A {\displaystyle A} è talvolta indicata con χ A ( x ) {\displaystyle \chi _{A}(x)} oppure I A ( x ) . {\displaystyle I_{A}(x).}
La funzione che associa un sottoinsieme A {\displaystyle A} di X {\displaystyle X} alla sua funzione indicatrice 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} è iniettiva ; il suo codominio è l'insieme delle funzioni f : X → { 0 , 1 } . {\displaystyle \mathbf {f} \colon X\to \{0,1\}.}
Se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} sono due sottoinsiemi di X , {\displaystyle X,} allora
1 A ∩ B = min { 1 A , 1 B } = 1 A 1 B e 1 A ∪ B = max { 1 A , 1 B } = 1 A + 1 B − 1 A 1 B . {\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}\qquad {\mbox{e}}\qquad \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B}.} Più in generale, supponiamo che A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} sia una collezione di sottoinsiemi di X . {\displaystyle X.} Per ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} si ha che il prodotto
∏ k = 1 n ( 1 − 1 A k ( x ) ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))} è chiaramente un prodotto di 0 {\displaystyle 0} e 1. {\displaystyle 1.} Questo prodotto ha il valore 1 {\displaystyle 1} proprio in corrispondenza degli x ∈ X {\displaystyle x\in X} che non appartengono a nessuno degli insiemi A k {\displaystyle A_{k}} ed è 0 {\displaystyle 0} altrove. Cioè
∏ k = 1 n ( 1 − 1 A k ) = 1 X − ⋃ k A k = 1 − 1 ⋃ k A k . {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.} Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,
1 ⋃ k A k = 1 − ∑ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | 1 ⋂ F A k = ∑ ∅ ≠ F ⊆ { 1 , 2 , … , n } ( − 1 ) | F | + 1 1 ⋂ F A k {\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}} Dove | F | {\displaystyle |F|} è la cardinalità di F . {\displaystyle F.} Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione .
Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria . La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità : se X {\displaystyle X} è uno spazio di probabilità con misura di probabilità P {\displaystyle P} e A {\displaystyle A} è un insieme misurabile , allora 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di A : {\displaystyle A:}
E ( 1 A ) = ∫ X 1 A ( x ) d P = ∫ A d P = P ( A ) . {\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A).} Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov .
Se A {\displaystyle A} è l'insieme di tutti i numeri positivi di X {\displaystyle X} compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere
1 A ( x ) = 1 X + ( x ) = s g n ( s g n ( x ) + 1 ) . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\mathbf {1} _{X^{+}}(x)=\mathrm {sgn} \left(\mathrm {sgn} (x)+1\right).} In analisi convessa , una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi , spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione , si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una χ A : X → R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}} tale che
χ A ( x ) := { 0 , x ∈ A ; + ∞ , x ∉ A . {\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}} Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:
1 A ( x ) = 1 1 + χ A ( x ) {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}} e
χ A ( x ) = ( + ∞ ) ( 1 − 1 A ( x ) ) {\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right)} relazioni valide ponendo per convenzione 1 0 = + ∞ {\displaystyle {1 \over 0}=+\infty } e 1 + ∞ = 0 {\displaystyle {1 \over +\infty }=0} .