Disequazione intera

Una disequazione si dice disequazione intera se, messa in forma normale, si presenta nella forma

${\displaystyle P(x)\leq 0}$ oppure ${\displaystyle P(x)<0}$ oppure ${\displaystyle P(x)>0}$ oppure ${\displaystyle P(x)\geq 0}$

dove ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio nella lettera x. In base al grado del polinomio la disequazione intera sarà di primo, secondo, terzo grado,...

Esempi

${\displaystyle 2x+1<0}$ è una disequazione intera di primo grado.

${\displaystyle x^{2}-10x+9>0}$ è una disequazione intera di secondo grado.

${\displaystyle x^{3}\leq 1}$ è una disequazione intera di terzo grado, ma non in forma normale.

${\displaystyle {\frac {x+3}{x}}>x-2}$ è una disequazione fratta, in quanto l'incognita è presente anche a denominatore.

Risoluzione disequazioni intere di primo grado[modifica | modifica wikitesto]

Fare riferimento alla voce Disequazione.

Risoluzione disequazioni intere di secondo grado[modifica | modifica wikitesto]

Fare riferimento alla voce disequazione di 2° grado.

Risoluzione disequazioni intere di grado superiore al secondo[modifica | modifica wikitesto]

Vi sono due metodi risolutivi.

Metodo della scomposizione in fattori e dello studio del segno del prodotto[modifica | modifica wikitesto]

La procedura prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. fattorizzare il polinomio ${\displaystyle P(x)}$ a primo membro in fattori di 1° e/o di 2º grado;
3. studiare il segno di ciascun fattore (sempre per ${\displaystyle \geq 0}$ o per ${\displaystyle >0}$ in relazione alla presenza dell'uguale nella disequazione);
4. rappresentare graficamente il segno di tutti i fattori e comporre il segno del prodotto;
5. evidenziare quei valori per cui i fattori si annullano con un simbolo particolare (ad esempio O);
6. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di ${\displaystyle P(x)}$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 1[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle x^{3}\leq 1.}$

La disequazione non è in forma normale quindi

${\displaystyle x^{3}-1\leq 0.}$

Fattorizzazione di ${\displaystyle P(x)}$.

${\displaystyle (x-1)(x^{2}+x+1)\leq 0.}$

Studio del segno dei fattori (sempre per ${\displaystyle \geq 0}$):

${\displaystyle F_{1}:x-1\geq 0\Rightarrow x\geq 1}$;

${\displaystyle F_{2}:x^{2}+x+1\geq 0}$ è una disequazione di 2° grado;

${\displaystyle \Rightarrow \Delta <0\Rightarrow }$ sempre positiva in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Schema del segno di ${\displaystyle P(x)}$

Soluzioni.

Si chiede che ${\displaystyle P(x)}$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono ${\displaystyle x\leq 1}$.

Esempio 2[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle x^{4}\geq 9x^{2}.}$

La disequazione non è in forma normale quindi

${\displaystyle x^{4}-9x^{2}\geq 0.}$

Fattorizzazione di ${\displaystyle P(x)}$.

${\displaystyle x^{2}(x^{2}-9)\geq 0}$.

Studio del segno dei fattori (sempre per ${\displaystyle \geq 0}$).

${\displaystyle F_{1}:x^{2}\geq 0}$ un quadrato è sempre positivo, nullo per x=0, mai negativo.

${\displaystyle F_{2}:x^{2}-9\geq 0}$ è una disequazione di 2° grado.

${\displaystyle \Rightarrow }$ (EA) ${\displaystyle x^{2}-9=0,\Delta >0,x_{1}=-3,x_{2}=+3\Rightarrow }$ positiva per ${\displaystyle x<-3\vee x>+3}$.

Schema del segno di ${\displaystyle P(x)}$

Soluzioni.

Si chiede che ${\displaystyle P(x)}$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono ${\displaystyle x\leq -3\vee x=0\vee x\geq +3}$.

Metodo veloce del segno di P(x)[modifica | modifica wikitesto]

La procedura risolutiva prevede:

1. mettere in forma normale la disequazione;
2. risolvere l'equazione associata (EA) ${\displaystyle P(x)=0}$ e trovare le soluzioni della EA con la loro molteplicità;
3. rappresentare graficamente il segno di ${\displaystyle P(x)}$ partendo sempre da destra con il segno del coefficiente della ${\displaystyle x}$ di grado massimo;
4. nello schema grafico cambiare il segno solo quando si incontra una radice (soluzione) di EA con molteplicità dispari;
5. guardando il verso della disequazione in forma normale, individuare sul grafico del segno di ${\displaystyle P(x)}$ l'insieme delle soluzioni, cioè l'intervallo dell'asse reale che soddisfa la disequazione.

Esempio 3[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle x^{3}\leq 1.}$

La disequazione non è in forma normale quindi:

${\displaystyle x^{3}-1\leq 0.}$

Equazione associata (EA) ${\displaystyle P(x)=0}$

${\displaystyle x^{3}-1=0.}$

Si tratta di una equazione binomia con un'unica soluzione ${\displaystyle x=1}$ con molteplicità 1. Il coefficiente della ${\displaystyle x}$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di ${\displaystyle P(x)}$

Soluzioni.

Si chiede che ${\displaystyle P(x)}$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono ${\displaystyle x\leq 1}$.

Esempio 4[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle -2x^{7}+8x^{6}\leq 0.}$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

${\displaystyle -2x^{7}+8x^{6}=0.}$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

${\displaystyle x^{6}(-2x+8)=0.}$

Le cui soluzioni sono ${\displaystyle x=0}$ con molteplcità 6 e ${\displaystyle x=4}$ con molteplcità 1. Il coefficiente della ${\displaystyle x}$ di grado massimo vale -2 (negativo) dunque:

schema del segno di ${\displaystyle P(x)}$

Attenzione: in ${\displaystyle x=0}$ il segno non cambia perché ha molteplicità 6 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che ${\displaystyle P(x)}$ sia negativo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono ${\displaystyle x\geq 4\vee x=0}$.

Esempio 5[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle x^{4}-9x^{2}\geq 0.}$

La disequazione è in forma normale.

Equazione associata (EA)

${\displaystyle x^{4}-9x^{2}=0.}$

Si tratta di una equazione generica che va risolta mediante scomposizione

${\displaystyle x^{2}(x^{2}-9)=0.}$

Le cui soluzioni sono ${\displaystyle x=0}$ con molteplcità 2 e ${\displaystyle x=-3}$ e ${\displaystyle x=3}$ con molteplcità 1. Il coefficiente della ${\displaystyle x}$ di grado massimo vale 1 (positivo) dunque:

schema del segno di ${\displaystyle P(x)}$

Attenzione: in ${\displaystyle x=0}$ il segno non cambia perché ha molteplicità 2 (pari).

Soluzioni.

Si chiede che ${\displaystyle P(x)}$ sia positivo o nullo (guardare il verso della disequazione in forma normale). Le soluzioni della disequazione sono ${\displaystyle x\leq -3\vee x=0\vee x\geq +3}$.

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Potenze con esponente pari[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle (x-3)^{4}<0.}$

Questa disequazione presenta a primo membro una potenza con esponente pari. Una potenza con esponente pari è sempre positiva o nulla, mai negativa. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo che non sarà mai verificata.

${\displaystyle S=\varnothing .}$

Potenze con esponente dispari[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle (2x+1)^{3}\geq 0.}$

Questa disequazione presenta al primo membro una potenza con esponente dispari. Una potenza con esponente dispari segue il segno della base. Quindi, anche se la disequazione non è in forma normale, sappiamo sarà verificata quando

${\displaystyle 2x+1\geq 0\Rightarrow x\geq -{\frac {1}{2}}.}$

Disequazioni intere con polinomio già fattorizzato[modifica | modifica wikitesto]

${\displaystyle (x-5)^{4}(x+1)^{3}(x^{4}-16)^{4}<0.}$

Questa disequazione presenta a primo membro già un polinomio fattorizzato. In questo caso conviene usare il metodo del segno dei fattori

${\displaystyle F_{1}:(x-5)^{2}\geq 0}$ è una potenza con esponente pari, dunque positiva sempre eccetto in ${\displaystyle x=5}$ dove vale 0;

${\displaystyle F_{2}:(x+1)^{3}\geq 0}$ è una potenza con esponente dispari, dunque segue il segno della base ${\displaystyle x\geq -1}$;

${\displaystyle F_{3}:(x^{4}-16)^{4}\geq 0}$ è una potenza con esponente pari, dunque sempre positiva o nulla per ${\displaystyle x^{4}-16=0\Rightarrow x^{4}=16\Rightarrow x=\pm 2}$.

Schema del segno

Soluzioni.

${\displaystyle P(x)}$ deve essere negativo, quindi per ${\displaystyle x<-1\land x\neq -2}$.

Disequazioni di quarto grado riconducibili al secondo[modifica | modifica wikitesto]

Un caso particolare di disequazione di quarto grado è il seguente:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a\leq 0\;\;\;}$ (oppure ${\displaystyle \geq 0}$).

Questo tipo di disequazioni si risolve effettuando una divisione membro a membro per ${\displaystyle x^{2}\neq 0}$, ossia:

${\displaystyle {\frac {ax^{4}}{x^{2}}}+{\frac {bx^{3}}{x^{2}}}+{\frac {cx^{2}}{x^{2}}}+{\frac {bx}{x^{2}}}+{\frac {a}{x^{2}}}\leq 0,}$

e quindi, semplificando e raccogliendo i fattori comuni si ottiene:

${\displaystyle a(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+b(x+{\frac {1}{x}})+c\leq 0,}$

poi si prosegue ponendo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t^{2}}$ come segue:

${\displaystyle t=x+{\frac {1}{x}}\;\;\;}$, da cui (elevando al quadrato entrambi i membri) si ottiene:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=t^{2}-2.}$

Sostituendo ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t^{2}}$ nella disequazione precedente si ha una comune disequazione di secondo grado:

${\displaystyle at^{2}+bt+c-2a\leq 0.}$

Dopo aver risolto la disequazione di secondo grado operiamo la sostituzione inversa di ${\displaystyle t=x+{\frac {1}{x}}}$ (è molto importante fare attenzione al dominio di risoluzione della disequazione di secondo grado).

Se nella disequazione ottenuta non compare il termine di secondo grado:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}-bx-a\leq 0,}$

allora si raccolgono i fattori comuni e si ottiene:

${\displaystyle (x^{2}-1)(ax^{2}+bx+a)\leq 0.}$

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

• (IT) Dodero, Baroncini, Manfredi (1999): Lineamenti di Matematica 2 per il biennio delle scuole superiori, 2th edition, Ghisetti e Corvi Editori

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

• Disequazione
• Disequazione quadratica
• Disequazione fratta

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

• sito con videolezioni sulle disequazioni appuntidimatematica.org

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