Criterio di Eisenstein

In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Il criterio[modifica | modifica wikitesto]

Sia $P(x)$ un polinomio primitivo a coefficienti interi

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.

Il criterio di Eisenstein afferma che:

Se esiste un numero primo $p$ tale che:

$p$ non divide $a_{n}$ ,
$p$ divide $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ ,
$p^{2}$ non divide $a_{0}$ ,

Allora $P(x)$ è irriducibile tra i polinomi a coefficienti interi.

In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi $H(x)$ e $G(x)$ e di grado almeno uno tali che

H(x)\cdot G(x)=P(x).

Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi $H(x)$ e $G(x)$ a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è $P(x)$ , quindi $P(x)$ è irriducibile pure tra i polinomi a coefficienti razionali.

Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo ad esempio il polinomio $P(x)=3x^{2}+25x+10$ ; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre $5^{2}=25$ non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.

L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio $Q(x)=x^{2}+10x+25$ , questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione $Q(x)=(x+5)^{2}=(x+5)(x+5)$

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=(b_{g}x^{g}+b_{g-1}x^{g-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0})(c_{h}x^{h}+c_{h-1}x^{h-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0})$

Abbiamo allora

$a_{0}=b_{0}c_{0}$ e quindi $p\mid b_{0}c_{0}$ e $p^{2}\nmid b_{0}c_{0}$

da cui a meno di inversioni $p\mid b_{0}$ e $p\nmid c_{0}$ , continuiamo

$p\mid b_{0}c_{1}+b_{1}c_{0}$ per cui $p\mid b_{1}$

$p\mid b_{0}c_{2}+b_{1}c_{1}+b_{2}c_{0}$ per cui $p\mid b_{2}$

...

dalle espressioni precedenti si deduce $p|b_{k}$ , quindi $p|G(x)$ , ma questo comporta che $p|P(x)$ e dunque l'assurdo $p|a_{n}$ .

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo $\mathbb {Z} _{p}$ delle classi di resto modulo il primo $p$ .

Consideriamo il polinomio $\pi _{p}(f(x))$ , ottenuto dal polinomio $f(x)$ proiettandone i coefficienti in $\mathbb {Z} _{p}$ ; poiché per ipotesi $p$ divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore, $\pi _{p}(f(x))=c\cdot x^{n}$ con $c\in \mathbb {Z} _{p}$ , $c\neq 0$ . Poiché in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di $f(x)$ in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ sarà in monomi. Supponiamo ora che $f(x)$ sia riducibile in $\mathbb {Z} [x]$ , ovvero che esistano $g(x),h(x)\in \mathbb {Z} [x]$ tali che $f(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $1\leq deg(g),\ deg(h)\leq n-1$ . Si avrebbe che i fattori $g(x)$ e $h(x)$ , proiettati modulo $p$ , sarebbero monomi, ovvero si avrebbe $\pi _{p}(g(x))=d\cdot x^{r}$ e $\pi _{p}(h(x))=e\cdot x^{n-r}$ , con $d,e\in \mathbb {Z} _{p}$ , $d,e\neq 0$ .

È facile verificare che $\pi _{p}(g(0))=\pi _{p}(g(x))(0)=0$ e che $\pi _{p}(h(x))(0)=\pi _{p}(h(0))=0,$ dunque $p$ divide $g(0)$ e $h(0)$ . Ma allora $p^{2}$ divide $g(0)h(0)=f(0)=a_{0},$ contraddicendo l'ipotesi $p^{2}\nmid a_{0}$ . Quindi $f(x)$ non è fattorizzabile in $\mathbb {Z} [x]$ , e dunque nemmeno in $\mathbb {Q} [x]$ per il lemma di Gauss.