תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.
פונקציה
עבור תחום פתוח
מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים
, אם לכל
מתקיים
.
באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים
, פונקציה
מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים
, אם לכל
מתקיים
.
- אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע
, אז היא רציפה באותו תחום. - אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע
, משמע היא חסומה. - מהקמירות של הפונקציה
, עבור כל
, נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור
היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר
מרחב מטרי כלשהו. - תנאי הלדר עם קבוע
נקרא תנאי ליפשיץ.
אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים
מעל קבוצה פתוחה
במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן
. אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן:
, וגם הוא מרחב וקטורי.
על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב-
ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):
![{\displaystyle \|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10fc722921afdc193567e62b1592f1638b23283)