הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p. בטופולוגיה , הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה A {\displaystyle A} ב- Int ( A ) {\displaystyle {\mbox{Int}}(A)} או ב- A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} .
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
תהא A {\displaystyle A} קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי . נגדיר את הפנים שלה, Int ( A ) {\displaystyle {\mbox{Int}}(A)} , בתור קבוצת כל הנקודות x ∈ A {\displaystyle x\in A} כך שקיימת קבוצה פתוחה B {\displaystyle B} כך ש- x ∈ B ⊆ A {\displaystyle x\in B\subseteq A} - כלומר, הקבוצה A {\displaystyle A} היא סביבה של x {\displaystyle x} . תהא A {\displaystyle A} קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב- A {\displaystyle A} . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב- A {\displaystyle A} . תהא A {\displaystyle A} קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור : Int ( A ) = ( A c ¯ ) c {\displaystyle {\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}} . נחשב את הפנים של הקטע הסגור [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} בישר הממשי.
[ 0 , 1 ] c = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle [0,1]^{c}=(-\infty ,0)\cup (1,\infty )} [ 0 , 1 ] c ¯ = ( − ∞ , 0 ] ∪ [ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle {\overline {[0,1]^{c}}}=(-\infty ,0]\cup [(1,\infty )} ( [ 0 , 1 ] c ¯ ) c = ( 0 , 1 ) {\displaystyle ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)} ולכן הפנים של [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} הוא הקטע הפתוח ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} .
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור .
כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: A = Int ( A ) {\displaystyle A={\mbox{Int}}(A)} . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן Int ( A ) = Int ( Int ( A ) ) {\displaystyle {\mbox{Int}}(A)={\mbox{Int}}\left({\mbox{Int}}(A)\right)} . A ⊆ B ⇒ Int ( A ) ⊆ Int ( B ) {\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Int}}(A)\subseteq {\mbox{Int}}(B)} Int ( A ) ∪ Int ( B ) ⊆ Int ( A ∪ B ) {\displaystyle {\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Int}}(B)\subseteq {\mbox{Int}}\left(A\cup B\right)} Int ( A ∩ B ) = Int ( A ) ∩ Int ( B ) {\displaystyle {\mbox{Int}}\left(A\cap B\right)={\mbox{Int}}(A)\cap {\mbox{Int}}(B)} החוץ של קבוצה A {\displaystyle A} , המסומן Ext ( A ) {\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)} , מוגדר כפנים של המשלים שלה: Ext ( A ) = Int ( A c ) {\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)={\mbox{Int}}(A^{c})} . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור : Ext ( A ) = ( Cl ( A ) ) c {\displaystyle {\mbox{Ext}}(A)=({\mbox{Cl}}(A))^{c}} .
השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.