Théorème des trois carrés

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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le théorème des trois carrés s'énonce de la manière suivante :

Un entier naturel est somme de trois carrés d'entiers si (et seulement si) il n'est pas de la forme ${\displaystyle 4^{i}(8k+7)}$ avec ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle k}$ entiers naturels.

Les premiers entiers naturels qui ne sont pas somme de trois carrés sont donc :

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... suite A004215 de l'OEIS.

Dit autrement, les racines carrées de ces nombres sont les longueurs interdites des diagonales d'un parallélépipède rectangle à côtés entiers.

Les premiers entiers naturels qui sont somme de trois carrés sont donc : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, ... suite A000378 de l'OEIS

Histoire[modifier | modifier le code]

N. Beguelin découvre en 1774^[1] que chaque entier positif qui n'est ni de la forme 8n + 7, ni de la forme 4n, est somme de 3 carrés, sans pour autant fournir de preuve satisfaisante^[2]. Cette assertion est clairement équivalente^[3] à l'assertion (1) ci-dessus, dont Adrien-Marie Legendre, en 1797 ou 1798^[4], donne une preuve défectueuse^[5]. En 1801, Carl Friedrich Gauss donne la première preuve correcte et complète de ce théorème^[6], en comptant même les solutions de l'écriture d'un entier en somme de trois carrés, ce qui généralise un autre résultat de Legendre^[7], dont la preuve laissait également à désirer^[8].

Avec le théorème des quatre carrés de Lagrange (qui devient d'ailleurs un corollaire du théorème des trois carrés^[9]) et le théorème des deux carrés de Girard, Fermat et Euler, le problème de Waring pour k = 2 est entièrement résolu.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Le sens « seulement si » de l'équivalence est simplement dû au fait que modulo 8, tout carré est congru à 0, 1 ou 4. Pour la réciproque, les trois outils principaux de la preuve, due à Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1850^[10],[11] et devenue classique^[9], sont

• la loi de réciprocité quadratique,
• le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet et
• la classe d'équivalence de la forme quadratique ternaire x₁² + x₂² + x₃².

Cette réciproque peut également se déduire du théorème de Davenport-Cassels^[12], qui permet même de montrer que dès qu'un entier est somme de trois carrés de rationnels, il est somme de trois carrés d'entiers.

Sommes de trois carrés non nuls[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres qui sont sommes de trois carrés non nuls sont : 3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30,... : suite A000408 de l'OEIS.

Il a été démontré que les nombres qui sont sommes de trois carrés mais qui ne sont pas somme de trois carrés non nuls sont les nombres de la forme ${\displaystyle 4^{i}.k}$ où ${\displaystyle i}$ est un entier naturel et ${\displaystyle k\in \{0,1,2,5,10,13,25,37,58,85,130,?\}}$, où ? désigne un nombre inconnu qui s'il existe est ${\displaystyle >5.10^{10}}$^[13].

Les premiers de ces nombres sont :${\displaystyle 0,1,2,4,5,8=4^{2},10,13,16=4^{3},20=4.5,25,32=4^{4},37,40=4.10,52=4.13,58,64=4^{5},80=4^{4}.5,85,100=4.25}$

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Théorème des deux carrés de Fermat
• Théorème des quatre carrés de Lagrange
• Théorème de Legendre
• Somme de trois cubes
• Théorèmes de Gauss 
• Théorèmes de Dirichlet 
• Théorème des nombres polygonaux de Fermat

Bibliographie[modifier | modifier le code]

André Weil, « Sur les sommes de trois et quatre carrés », L'Enseignement mathématique, vol. 20,‎ 1974, p. 215-222 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]

• (en) Pete L. Clark, « Representations of integers by quadratic forms », 2011, p. 5-7
• B. Meyer, « Somme de carrés d'entiers », sur Université de Bordeaux I, 2008, p. 9
• (en) Jan Wójcik, « On sums of three squares », Colloq. Math., vol. 24,‎ 1971, p. 117-119 (lire en ligne)
• Alexandre Junod, « Sommes de trois carrés », Bulletin de la SSPMP, vol. 147,‎ 2021, p. 6-8 (lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres