Théorème de représentation de Skorokhod

En effet, si ${\displaystyle \omega _{1}\in C,}$ alors ${\displaystyle F}$ est constant sur l'intervalle ${\displaystyle I(\omega _{1})\ =\ ]Y(\omega _{1}),\,Z(\omega _{1})[,\ }$ égal à ${\displaystyle \omega _{1}}$ sur ${\displaystyle I(\omega _{1}).}$ Si, de plus, ${\displaystyle \omega _{2}\in C,}$ et ${\displaystyle \omega _{2}>\omega _{1},}$ alors, par croissance de ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle Z(\omega _{1})\leq Y(\omega _{2}),}$ de sorte que les intervalles ${\displaystyle I(\omega _{1})}$ et ${\displaystyle I(\omega _{2})}$ sont disjoints et non vides. Si on choisit arbitrairement un rationnel ${\displaystyle r(\omega )}$ dans chaque intervalle ${\displaystyle I(\omega )}$ non vide, on définit ainsi une application ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle C}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ strictement croissante : ${\displaystyle r(\omega _{1})\ <\ r(\omega _{2}),}$ donc injective. Ainsi ${\displaystyle r}$ établit une bijection entre ${\displaystyle C}$ et une partie de ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

En effet, pour ${\displaystyle \omega \notin C,}$ on a

${\displaystyle \{Y(\omega )<z\}\Rightarrow \{\omega <F(z)\},}$

puisque, pour tout ${\displaystyle \omega \in ]0,1[,\ }$ on a ${\displaystyle \{Z(\omega )<z\}\Rightarrow \{\omega <F(z)\}.}$ On sait que l'ensemble ${\displaystyle D}$ des points de discontinuités de ${\displaystyle F}$ est au plus dénombrable et que, pour ${\displaystyle x}$ hors de ${\displaystyle D}$,

${\displaystyle \lim _{n}F_{n}(x)\ =\ F(x).}$

Ainsi, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ on peut trouver ${\displaystyle z\in D^{c}\cap ]Y(\omega ),Y(\omega )+\varepsilon [.\ }$ Pour ce choix de ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lim _{n}F_{n}(z)\ =\ F(z),}$ donc, à partir d'un certain rang, ${\displaystyle \{\omega <F_{n}(z)\},}$ et, en conséquence, ${\displaystyle \{Y_{n}(\omega )\leq z\}.}$ On en déduit que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle \limsup _{n}Y_{n}(\omega )\ <\ Y(\omega )+\varepsilon ,}$

ce qui entraîne

${\displaystyle \limsup _{n}Y_{n}(\omega )\ \leq \ Y(\omega ).}$

Par ailleurs, pour ${\displaystyle \omega \in ]0,1[,}$ on a ${\displaystyle \{Y(\omega )>y\}\Rightarrow \{\omega >F(y)\}.}$ Mais, pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0,\ }$ on peut trouver ${\displaystyle y\in D^{c}\cap ]Y(\omega )-\varepsilon ,Y(\omega )[.}$ Pour ce choix de ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \lim _{n}F_{n}(y)\ =\ F(y),}$ donc, à partir d'un certain rang, ${\displaystyle \{\omega >F_{n}(y)\},}$ et, en conséquence, ${\displaystyle \{Y_{n}(\omega )\geq y\}.}$ On en déduit que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle \liminf _{n}Y_{n}(\omega )\ >\ Y(\omega )-\varepsilon ,}$

ce qui entraîne

${\displaystyle \liminf _{n}Y_{n}(\omega )\ \geq \ Y(\omega ).\quad {\textrm {(CQFD)}}}$