Famille de Sperner

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En combinatoire, une famille de Sperner (ou système de Sperner), appelé ainsi en l'honneur d'Emanuel Sperner, est un hypergraphe (E, F) (c'est-à-dire un ensemble E et un ensemble F de parties de E) dans lequel aucun élément de F ne contient un autre. Formellement,

Si X, Y sont dans F et X ≠ Y, alors X n'est pas inclus dans Y et Y n'est pas inclus dans X.

De manière équivalente, une famille de Sperner (ou ensemble de Sperner) est une antichaîne de l'ensemble des parties (ordonné par l'inclusion) d'un ensemble.

Exemples[modifier | modifier le code]

Toute partie de ${\mathcal {P}}_{k}(X)$ , ensemble des parties à k éléments d'un ensemble X à n éléments est un ensemble de Sperner sur X.

Nombre d'ensembles de Sterner sur un ensemble à n éléments[modifier | modifier le code]

Le nombre d'ensembles de Sterner sur un ensemble à n éléments est appelé nombre de Dedekind d'ordre n et noté $M(n)$ ; ils forment la suite débutant par 2, 3, 6, 20, 168 ; voir la suite A000372 de l'OEIS,.

D'après ce qui précède, $M(n)$ est supérieur ou égal au nombre d'ensembles formés de parties de X ayant le même nombre d'éléments, soit $M(n)\geqslant \sum _{k=0}^{n}2^{\binom {n}{k}}-n$ ; voir la suite A169974 de l'OEIS.

Théorème de Sperner[modifier | modifier le code]

Pour tout ensemble de Sperner S sur un ensemble X à n éléments,

|S|\leqslant {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }.

Ce majorant est optimal, car il est atteint en prenant pour S l'ensemble des parties de X à k éléments, avec k = n/2 si n est pair et k = (n – 1)/2 ou (n + 1)/2 si n est impair. Le théorème de Sperner se reformule donc en disant que la largeur de l'ordre d'inclusion sur l'ensemble des parties de X est égale à cette borne ^[1].

Démonstration

Cette preuve est due à Lubell^[2]. Soit s_k le nombre d'ensembles à k éléments de S. Pour tout 0 ≤ k ≤ n,

{n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }\geqslant {n \choose k}

et donc,

{s_{k} \over {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }}\leqslant {s_{k} \over {n \choose k}}.

Comme S est une antichaîne, on peut sommer les précédentes inégalités de k = 0 à n et ensuite appliquer l'inégalité de Lubell-Yamamoto-Meshalkin pour obtenir

\sum _{k=0}^{n}{s_{k} \over {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{s_{k} \over {n \choose k}}\leqslant 1,

ce qui s'écrit

|S|=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\leqslant {n \choose \lfloor {n/2}\rfloor }

.

Le théorème de Sperner est un cas particulier du théorème de Dilworth. Il est parfois appelé lemme de Sperner, mais ceci peut prêter à confusion avec le lemme de Sperner qui est un autre résultat de combinatoire, sur la coloration de graphe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sperner family » (voir la liste des auteurs).

↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2013, p. 201-202
↑ (en) D. Lubell, « A short proof of Sperner's theorem », JCT, vol. 1,‎ 1966, p. 299

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2013, p. 201-202

[2] (en) D. Lubell, « A short proof of Sperner's theorem », JCT, vol. 1,‎ 1966, p. 299

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