Théorème de Soddy

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En mathématiques, le théorème de Soddy est un résultat de géométrie euclidienne démontré par le chimiste Frederick Soddy en 1936^[1]. C'est un cas particulier du théorème de Descartes.

Théorème de Soddy[modifier | modifier le code]

Soient trois cercles tangents extérieurement deux à deux. Il existe alors au moins un autre cercle tangent aux trois premiers.

Il peut y avoir un cercle tangent extérieur ou (non exclusif) un cercle tangent intérieur. Soddy a établi la relation entre les rayons des cercles : si ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}\,}$ sont les rayons des trois premiers cercles et de l'un des quatrièmes cercles possibles, on a :

${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}^{2}}}+{\frac {1}{R_{2}^{2}}}+{\frac {1}{R_{3}^{2}}}+{\frac {1}{R_{4}^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+{\frac {1}{R_{4}}}\right)^{2}}$

Les rayons des cercles intérieur R_i et extérieur R_o s'écrivent alors :

${\displaystyle R_{i}={\frac {\Delta }{4R+r+2s}},\ R_{o}={\frac {\Delta }{4R+r-2s}}}$

avec R le rayon du cercle circonscrit, r le rayon du cercle inscrit, s le semi-périmètre du triangle formé par les centres des trois premiers cercles, et Δ, son aire.

Triangles de Soddy[modifier | modifier le code]

Les triangles de Soddy sont les triangles pour lesquels le cercle de Soddy extérieur est dégénéré en une droite^[2]. On peut démontrer que tous les triangles de Soddy sont des triangles de Héron.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

• Théorème de Descartes (article plus complet ; on y trouve aussi les cercles de Soddy)

Lien externe[modifier | modifier le code]

• (en) Une simulation des sphères de Soddy

• Portail de la géométrie