Théorème de Kronecker

Soit C un tel sous-groupe. Raisonnons par récurrence sur le nombre minimal k d'éléments qu'il faut adjoindre à C pour engendrer G. Si k = 0 alors C = G, facteur direct dans lui-même. Supposons k > 0, C engendré par g₀ et G engendré par g₀, … , g_k et (par hypothèse de récurrence) C facteur direct dans le sous-groupe G' engendré par g₀, … , g_k–1. Il existe donc un projecteur ${\displaystyle \varphi '}$ défini sur G' dont l'image est égale à C. Pour l'étendre en un projecteur ${\displaystyle \varphi }$ défini sur G, on pose

${\displaystyle \forall x\in G'\quad \forall y\in \langle g_{k}\rangle \quad \psi (x,y)=\varphi '(x)+\varphi ''(y),}$

pour un morphisme ${\displaystyle \varphi '':\langle g_{k}\rangle \to C}$ convenablement choisi. Plus précisément, la condition sur ${\displaystyle \varphi ''}$ est que ${\displaystyle \psi :G'\times \langle g_{k}\rangle \to C,(x,y)\mapsto \varphi '(x)+\varphi ''(y)}$ se factorise par ${\displaystyle +:G'\times \langle g_{k}\rangle \to G}$, pour que l'application ${\displaystyle \varphi }$ soit bien définie sur G (${\displaystyle \varphi }$ sera alors un projecteur d'image C, donc G sera somme directe de C et du noyau de ${\displaystyle \varphi }$).

La condition pour que ${\displaystyle \varphi }$ se factorise par + est qu'il s'annule sur le noyau de ce morphisme +, c'est-à-dire sur l'ensemble des couples (h, –h) quand h parcourt le sous-groupe H := G' ∩ ⟨g_k⟩, autrement dit que ${\displaystyle \varphi ''}$ coïncide sur H avec ${\displaystyle \varphi '}$. L'ordre de ⟨g_k⟩ divise celui de C (car d'ordre e = exp(G)) donc un tel ${\displaystyle \varphi ''}$ existe toujours, d'après le lemme 2 suivant.

${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ s'identifiant à un sous-groupe de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{e}}$, il suffit d'étendre ${\displaystyle \rho }$ à ${\displaystyle \mathbb {Z} _{e}}$ (on pourra ensuite restreindre ce prolongement au sous-groupe ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$). On peut donc supposer sans perte de généralité que m = e. Soit d l'ordre de H. Alors ${\displaystyle d\rho (H)=\rho (dH)=\rho (0)=0}$ donc ${\displaystyle \rho (H)\subset H}$, autrement dit, ${\displaystyle \rho }$ est un endomorphisme du groupe cyclique H, noté additivement. C'est donc simplement la multiplication par un certain entier. On peut alors définir ${\displaystyle \rho '}$ sur ${\displaystyle \mathbb {Z} _{e}}$ comme la multiplication par ce même entier.

Raisonnons par récurrence sur l'ordre n de G.

Existence d'une décomposition :

Si n = 1, la suite vide convient. Supposons n > 1 et l'existence démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n, et e son exposant. Alors G possède un sous-groupe cyclique C₁ d'ordre e et (d'après le lemme 1) un sous-groupe K tel que G = C₁×K. L'hypothèse de récurrence montre que K est somme directe d'une suite de sous-groupes cycliques C₂, … ,C_k telle que pour tout entier i compris entre 2 et k – 1, l'ordre de C_i+1 divise celui de C_i. De plus, l'ordre de C₂ divise celui de C₁, par définition de e et C₁.

Unicité de la décomposition :

Pour n = 1, l'unicité est immédiate. Supposons n > 1 et l'unicité démontrée pour tous les groupes abéliens finis d'ordre strictement inférieur à n. Soient G un groupe abélien fini d'ordre n et ${\displaystyle G=C_{1}\oplus \dots \oplus C_{k}=C'_{1}\oplus \dots C'_{\ell }}$ deux décompositions de G en sommes directes de sous-groupes cycliques dont les ordres (a₁, … , a_k), (b₁, … , b_ℓ) vérifient les conditions du théorème. Soient x un générateur de C₁ et (y₁, … , y_ℓ) ses composantes dans la seconde décomposition. L'ordre de x est égal à l'exposant e de G donc il existe au moins un indice j₀ tel que y_j0 est d'ordre e (remarquons qu'alors, b₁ = … = b_j0 = e). En remplaçant C'_j0 par C₁ dans la seconde décomposition, la somme est alors encore directe et de l'égalité ${\displaystyle \bigoplus _{i}C_{i}=C_{1}\oplus \bigoplus _{j\neq j_{0}}C'_{j}}$, on déduit, en quotientant par C₁ : ${\displaystyle \bigoplus _{i>1}C_{i}\simeq \bigoplus _{j\neq j_{0}}C'_{j}}$ donc (par hypothèse de récurrence) (a₂, … , a_k) = (b₁, … , b_j0–1, b_j0+1, … , b_ℓ), si bien que (a₁, … , a_k) = (b₁, … , b_ℓ).