Test t de Welch

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Test t de Welch

Type	Test paramétrique (d)
Nommé en référence à	Bernard Lewis Welch (en)

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

En statistique, le test t de Welch est une adaptation du test t de Student. Il est utilisé notamment pour tester statistiquement l’hypothèse que deux populations aient la même moyenne. Dans ce test, les deux populations peuvent être de taille différente, et avoir des variances différentes. Il s'agit en fait d'une solution approchée du problème de Behrens–Fisher.

Cadre[modifier | modifier le code]

On considère deux populations. On y prend deux échantillons :

${\displaystyle X_{1}^{(1)},\dots ,X_{1}^{(N_{1})}}$

et

${\displaystyle X_{2}^{(1)},\dots ,X_{2}^{(N_{2})}}$.

On suppose que les échantillons suivent une loi normale ; le premier une loi normale d'espérance ${\displaystyle \mu _{1}}$ (et de variance quelconque) et le second une loi normale d'espérance ${\displaystyle \mu _{2}}$ (et de variance quelconque, potentiellement différente).

L'hypothèse nulle est ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$.

Calcul de la statistique[modifier | modifier le code]

La statistique de test est donnée par la formule suivante :

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

où ${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$, ${\displaystyle s_{i}^{2}}$ et ${\displaystyle N_{i}}$ sont respectivement la moyenne empirique de l'échantillon ${\displaystyle i}$, à l'estimateur non-biaisé de sa variance et à la taille de l'échantillon ${\displaystyle i}$. Contrairement au test t de Student, le dénominateur n'est pas basé sur une estimation de l'ensemble des variances.

Le calcul des degrés de liberté ν associés à cette estimation de la variance est approché par l'équation de Welch-Satterthwaite :

${\displaystyle \nu ={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}.\,}$

Ici ν_i = N_i –1, les degrés de liberté sont associés à la i^e estimation de la variance.

Mise en place du test[modifier | modifier le code]

Une fois le t et ν calculés, ces statistiques peuvent être utilisés avec une loi de Student à ν degrés de liberté, pour tester l'hypothèse nulle qui stipule que les moyennes de deux populations sont égales (utilisant un test bilatéral), ou l'hypothèse nulle stipulant que la moyenne d'une population est supérieure ou égale à une autre (utilisant un test unilatéral). Lorsque le test est réalisé, celui-ci donne une p-value qui permettra de rejeter ou non l'hypothèse nulle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

• (en) Welch B. L., « The generalization of "Student's" problem when several different population variances are involved », Biometrika, vol. 34, n^os 1/2,‎ 1947, p. 28-35 (DOI 10.1093/biomet/34.1-2.28)
• (en) Test t avec correction de Welch
• (en) Sawilowsky S. S., « Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂ », Journal of Modern Applied Statistical Methods, vol. 1, n^o 2,‎ 2002, p. 461-472 (lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Welch's t test » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

• Test t

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

v · m Index du projet probabilités et statistiques

Théorie des probabilités Bases théoriques Principes généraux Axiomes des probabilités Espace probabilisable Probabilité Événement Tribu Indépendance Variable aléatoire Espérance Variables iid Convergence de lois Théorème central limite Loi des grands nombres Théorème de Borel-Cantelli Calcul stochastique Marche aléatoire Chaîne de Markov Processus stochastique Processus de Markov Martingale Mouvement brownien Équation différentielle stochastique Lois de probabilité Lois continues Loi exponentielle Loi normale Loi uniforme Loi de Student Loi de Fisher Loi du χ² Lois discrètes Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Loi géométrique Loi hypergéométrique Mélange entre statistiques et probabilités Intervalle de confiance Interprétations de la probabilité Bayésianisme Théorie des statistiques Statistiques descriptives Bases théoriques Une statistique Caractère Échantillon Erreur type Intervalle de confiance Fonction de répartition empirique Théorème de Glivenko-Cantelli Inférence bayésienne Régression linéaire Méthode des moindres carrés Analyse des données Corrélation Tableaux Tableau de contingence Tableau disjonctif complet Table de Burt Visualisation de données Histogramme Diagramme à barres Graphique en aires Diagramme circulaire Treemap Boîte à moustaches Nuage de points Graphique à bulles Diagramme en cascade Graphique en entonnoir Diagramme de Kiviat Corrélogramme Graphique en forêt Diagramme branche-et-feuille Heat map Sparkline Paramètres de position Moyenne arithmétique Mode Médiane Quantile Quartile Décile Centile Paramètres de dispersion Étendue Écart moyen Variance Écart type Déviation absolue moyenne Écart interquartile Coefficient de variation Paramètres de forme Coefficient d'asymétrie Coefficient d'aplatissement Statistiques inductives Bases théoriques Hypothèse nulle Estimateur Signification statistique Sensibilité et spécificité Courbe ROC Nombre de sujets nécessaires Valeur p Contraste (statistiques) Statistique de test Taille d'effet Puissance statistique Tests paramétriques Test d'hypothèse Test de Bartlett Test de normalité Test de Fisher d'égalité de deux variances Test d'Hausman Test d'Anderson-Darling Test de Banerji Test de Durbin-Watson Test de Goldfeld et Quandt Test de Jarque-Bera Test de Mood Test de Lilliefors Test de Wald Test T pour des échantillons indépendants Test T pour des échantillons appariés Test de corrélation de Pearson Tests non-paramétriques Test U de Mann-Whitney Test de Kruskal-Wallis Test exact de Fisher Test de Kolmogorov-Smirnov Test de Shapiro-Wilk Test de Chow Test de McNemar Test de Spearman Tau de Kendall Test Gamma Test des suites de Wald-Wolfowitz Test de la médiane Test des signes ANOVA de Friedman Concordance de Kendall Test Q de Cochran Test des rangs signés de Wilcoxon Test de Sargan Application Économétrie Mécanique statistique Jeu de hasard Biomathématique Biostatistique Mathématiques financières

• Portail des probabilités et de la statistique