Le rayonnement continu de freinage ou bremsstrahlung prononcé en allemand [ˈ b ʁ ɛ m s ˌ ʃ t ʁ a ː l ʊ ŋ Écouter bremsen Strahlung rayonnement électromagnétique à spectre large créé par le ralentissement de charges électriques. On parle aussi de rayonnement blanc .
Création d'un rayonnement par freinage d'un électron dans le champ électrique d'un noyau atomique. Lorsqu'une cible solide est bombardée par un faisceau d'électrons , ceux-ci sont freinés et déviés par le champ électrique des noyaux de la cible. Or, comme le décrivent les équations de Maxwell , toute charge dont la vitesse varie, en valeur absolue ou en direction, rayonne. Comme l'énergie liée à la décélération des électrons est quantifiée suivant des valeurs fortement rapprochées (comme le prévoit la fonction de distribution de translation associée), cela crée un flux de photons dont le spectre en énergie est quasiment continu.
Ce procédé est notamment utilisé pour produire des rayons X , dans les générateurs de rayons X et les synchrotrons . Ces deux sources ne donnent pas le même type de spectre . En effet, le rayonnement synchrotron est purement continu, contrairement à celui d'un tube à rayons X, qui comporte quelques raies spectrales, dû à des transitions électroniques .
L'énergie maximale des photons est l'énergie cinétique initiale E 0 des électrons. Le spectre en énergie s'arrête donc à cette valeur E 0 . Si l'on trace le spectre en longueur d'onde (représentation la plus fréquente), on a un spectre qui commence à λ0 qui vaut
λ 0 = h c E 0 {\displaystyle \lambda _{0}={\frac {hc}{E_{0}}}} ou encore
λ 0 = h c e U {\displaystyle \lambda _{0}={\frac {hc}{eU}}} et dont l'énergie est maximale pour λmax qui vaut
λ m a x = 3 2 λ 0 {\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }={\frac {3}{2}}\lambda _{0}} où
Le spectre de puissance du Bremsstrahlung décroît rapidement de l'infini (lorsque ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω → ∞ {\displaystyle \omega \rightarrow \infty } T e > 27 , 2 Z 2 {\displaystyle T_{e}>27,2Z^{2}} Dans un plasma , les électrons libres produisent constamment un Bremsstrahlung lorsqu'ils entrent en collision avec des ions . Dans un plasma uniforme contenant des électrons thermiques[ note 1] [ note 2] équation différentielle [ 1]
d P B r d ω = 4 2 3 π [ n e r e 3 ] 2 [ m e c 2 k B T e ] 1 / 2 [ m e c 2 r e 3 ] Z e f f E 1 ( w m ) , {\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={4{\sqrt {2}} \over 3{\sqrt {\pi }}}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{\frac {m_{e}c^{2}}{k_{B}T_{e}}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{2} \over r_{e}^{3}}\right]Z_{\mathrm {eff} }E_{1}(w_{m}),} où n e {\displaystyle n_{e}} r e {\displaystyle r_{e}} rayon classique de l'électron , m e {\displaystyle m_{e}} k B {\displaystyle k_{B}} constante de Boltzmann et c {\displaystyle c} vitesse de la lumière dans le vide. Les deux premiers facteurs entre crochets à la droite de l'égalité sont sans dimension. L'état de la charge « efficace » d'un ion, Z e f f {\displaystyle Z_{\mathrm {eff} }}
Z e f f = ∑ Z Z 2 n Z n e {\displaystyle Z_{\mathrm {eff} }=\sum _{Z}Z^{2}{n_{Z} \over n_{e}}}
où n Z {\displaystyle n_{Z}} Z {\displaystyle Z} E 1 {\displaystyle E_{1}} exponentielle intégrale . La fonction w m {\displaystyle w_{m}}
w m = ω 2 m e 2 k m 2 k B T e {\displaystyle w_{m}={\omega ^{2}m_{e} \over 2k_{m}^{2}k_{B}T_{e}}} avec k m {\displaystyle k_{m}} nombre d'onde maximum ou de coupure. k m = K / λ B {\displaystyle k_{m}=K/\lambda _{B}} k B T e > 27 , 2 Z 2 {\displaystyle k_{B}T_{e}>27,2Z^{2}} énergie d'ionisation de l'hydrogène) où K est un nombre pur et λ B = ℏ / ( m e k B T e ) 1 / 2 {\displaystyle \lambda _{B}=\hbar /(m_{e}k_{B}T_{e})^{1/2}} longueur d'onde de De Broglie . Sinon, k m ∝ 1 / l c {\displaystyle k_{m}\propto 1/l_{c}} l c {\displaystyle l_{c}}
d P B r / d ω {\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega } ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ω {\displaystyle \omega }
Pour le cas k m = K / λ B {\displaystyle k_{m}=K/\lambda _{B}}
w m = 1 2 K 2 [ ℏ ω k B T e ] 2 {\displaystyle w_{m}={1 \over 2K^{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}\right]^{2}} Dans ce cas, la densité de puissance, intégrée sur toutes les fréquences, est finie et vaut
P B r = 8 3 [ n e r e 3 ] 2 [ k B T e m e c 2 ] 1 / 2 [ m e c 3 r e 4 ] Z e f f α K {\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={8 \over 3}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{k_{B}T_{e} \over m_{e}c^{2}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{3} \over r_{e}^{4}}\right]Z_{\mathrm {eff} }\alpha K} La constante de structure fine α {\displaystyle \alpha } λ B {\displaystyle \lambda _{B}} [ 2]
P B r [ W/m 3 ] = [ n e 7.69 × 10 18 m − 3 ] 2 T e [ eV ] 1 / 2 Z e f f {\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[{\textrm {W/m}}^{3}]=\left[{n_{e} \over 7.69\times 10^{18}{\textrm {m}}^{-3}}\right]^{2}T_{e}[{\textrm {eV}}]^{1/2}Z_{\mathrm {eff} }} Cette formule est proche de la valeur théorique si K=3,17 ; la valeur K=3 est suggérée par Ichimaru[ 1]
Pour des températures très élevées, il faut apporter des corrections relativistes [Laquelle ?] k B T e /m e c2 [ 3]
Si le plasma est optiquement mince, la radiation du Bremsstrahlung quitte le plasma, emportant une partie de son énergie. Cet effet est appelé « refroidissement par Bremsstrahlung ».
La description entière à l'aide de la mécanique quantique a été exécutée pour la première fois par Bethe et Heitler[ 4] onde plane pour des électrons qui sont diffusés par le noyau atomique, et ont déduit une section efficace qui lie la géométrie entière de ce phénomène à la fréquence du photon émis. La section efficace, qui montre une symétrie de la mécanique quantique à la création de paires , est:
d 4 σ = Z 2 α f i n e 3 ℏ 2 ( 2 π ) 2 | p → f | | p → i | d ω ω d Ω i d Ω f d Φ | q → | 4 × × [ p → f 2 sin 2 Θ f ( E f − c | p → f | cos Θ f ) 2 ( 4 E i 2 − c 2 q → 2 ) + p → i 2 sin 2 Θ i ( E i − c | p → i | cos Θ i ) 2 ( 4 E f 2 − c 2 q → 2 ) + 2 ℏ 2 ω 2 p → i 2 sin 2 Θ i + p → f 2 sin 2 Θ f ( E f − c | p → f | cos Θ f ) ( E i − c | p → i | cos Θ i ) − 2 | p → i | | p → f | sin Θ i sin Θ f cos Φ ( E f − c | p → f | cos Θ f ) ( E i − c | p → i | cos Θ i ) ( 2 E i 2 + 2 E f 2 − c 2 q → 2 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma &={\frac {Z^{2}\alpha _{\mathrm {fine} }^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}d\Omega _{f}d\Phi }{|{\vec {q}}|^{4}}}\times \\&\times \left[{\frac {{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right.\\&+{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\\&+2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\\&-2\left.{\frac {|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right].\end{aligned}}} Où, Z {\displaystyle Z} numéro atomique , α f i n e ≈ 1 / 137 {\displaystyle \alpha _{\mathrm {fine} }\approx 1/137} constante de structure fine , ℏ {\displaystyle \hbar } constante de Planck réduite et c {\displaystyle c} vitesse de la lumière . L'énergie cinétique E k i n , i / f {\displaystyle E_{\mathrm {kin} ,i/f}} énergie totale E i , f {\displaystyle E_{i,f}} quantité de mouvement p → i , f {\displaystyle {\vec {p}}_{i,f}}
E i , f = E k i n , i / f + m e c 2 = m e 2 c 4 + p → i , f 2 c 2 , {\displaystyle E_{i,f}=E_{\mathrm {kin} ,i/f}+m_{e}c^{2}={\sqrt {m_{e}^{2}c^{4}+{\vec {p}}_{i,f}^{2}c^{2}}},}
où m e {\displaystyle m_{e}} masse de l'électron . La conservation de l'énergie donne
E f = E i − ℏ ω , {\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}
où ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega }
Θ i = ∢ ( p → i , k → ) , Θ f = ∢ ( p → f , k → ) , Φ = Angle entre les ondes planes ( p → i , k → ) et ( p → f , k → ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle ({\vec {p}}_{i},{\vec {k}}),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle ({\vec {p}}_{f},{\vec {k}}),\\\Phi &={\text{Angle entre les ondes planes }}({\vec {p}}_{i},{\vec {k}}){\text{ et }}({\vec {p}}_{f},{\vec {k}}),\end{aligned}}}
où k → {\displaystyle {\vec {k}}}
Les différentielles sont données par
d Ω i = sin Θ i d Θ i , d Ω f = sin Θ f d Θ f . {\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}
La valeur absolue du photon virtuel entre le noyau atomique et l'électron est
− q → 2 = − | p → i | 2 − | p → f | 2 − ( ℏ c ω ) 2 + 2 | p → i | ℏ c ω cos Θ i − 2 | p → f | ℏ c ω cos Θ f + 2 | p → i | | p → f | ( cos Θ f cos Θ i + sin Θ f sin Θ i cos Φ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}-{\vec {q}}^{2}&=-|{\vec {p}}_{i}|^{2}-|{\vec {p}}_{f}|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2|{\vec {p}}_{i}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2|{\vec {p}}_{f}|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&+2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi ).\end{aligned}}}
La validité est donnée par l'approximation de Born
v ≫ Z c 137 {\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}
où cette relation est vraie pour la vélocité v {\displaystyle v}
Pour les applications pratiques (par exemple des codes de Monte Carlo) il peut être intéressant de se concentrer sur la relation entre la fréquence du photon émis et l'angle entre ce photon et l'électron entré. Köhn et Ebert [ 5] Φ {\displaystyle \Phi } Θ f {\displaystyle \Theta _{f}}
d 2 σ ( E i , ω , Θ i ) d ω d Ω i = ∑ j = 1 6 I j {\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}} avec
I 1 = 2 π A Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ln ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( Δ 1 + Δ 2 ) + Δ 1 Δ 2 − Δ 2 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( Δ 1 − Δ 2 ) + Δ 1 Δ 2 ) × [ 1 + c Δ 2 p f ( E i − c p i cos Θ i ) − p i 2 c 2 sin 2 Θ i ( E i − c p i cos Θ i ) 2 − 2 ℏ 2 ω 2 p f Δ 2 c ( E i − c p i cos Θ i ) ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ] , I 2 = − 2 π A c p f ( E i − c p i cos Θ i ) ln ( E f + p f c E f − p f c ) , I 3 = 2 π A ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i × ln ( ( ( E f + p f c ) ( 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( E f − p f c ) + ( Δ 1 + Δ 2 ) ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) − ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ) ) ( ( E f − p f c ) ( 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( − E f − p f c ) + ( Δ 1 − Δ 2 ) ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) − ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ) ) − 1 ) × [ − ( Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( E f 3 + E f p f 2 c 2 ) + p f c ( 2 ( Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) E f p f c + Δ 1 Δ 2 ( 3 E f 2 + p f 2 c 2 ) ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) p f ( E i − c p i cos Θ i ) − 4 E i 2 p f 2 ( 2 ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 − 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( Δ 1 E f + Δ 2 p f c ) ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) 2 + 8 p i 2 p f 2 m 2 c 4 sin 2 Θ i ( E i 2 + E f 2 ) − 2 ℏ 2 ω 2 p i 2 sin 2 Θ i p f c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) + 2 ℏ 2 ω 2 p f m 2 c 3 ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) ( E i − c p i cos Θ i ) ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ] , I 4 = − 4 π A p f c ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i − 16 π E i 2 p f 2 A ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) 2 , I 5 = 4 π A ( − Δ 2 2 + Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) × [ ℏ 2 ω 2 p f 2 E i − c p i cos Θ i × E f [ 2 Δ 2 2 ( Δ 2 2 − Δ 1 2 ) + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( Δ 2 2 + Δ 1 2 ) ] + p f c [ 2 Δ 1 Δ 2 ( Δ 2 2 − Δ 1 2 ) + 16 Δ 1 Δ 2 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ] Δ 2 2 + 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i + 2 ℏ 2 ω 2 p i 2 sin 2 Θ i ( 2 Δ 1 Δ 2 p f c + 2 Δ 2 2 E f + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i E f ) E i − c p i cos Θ i + 2 E i 2 p f 2 { 2 ( Δ 2 2 − Δ 1 2 ) ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i [ ( Δ 1 2 + Δ 2 2 ) ( E f 2 + p f 2 c 2 ) + 4 Δ 1 Δ 2 E f p f c ] } ( ( Δ 2 E f + Δ 1 p f c ) 2 + 4 m 2 c 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) + 8 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ( E i 2 + E f 2 ) ( Δ 2 p f c + Δ 1 E f ) E i − c p i cos Θ i ] , I 6 = 16 π E f 2 p i 2 sin 2 Θ i A ( E i − c p i cos Θ i ) 2 ( − Δ 2 2 + Δ 1 2 − 4 p i 2 p f 2 sin 2 Θ i ) , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{2}&=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\\&\times \ln {\Bigg (}{\Big (}(E_{f}+p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)\\&-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}{\Big (}(E_{f}-p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(-E_{f}-p_{f}c)\\&+(\Delta _{1}-\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}^{-1}{\Bigg )}\\&\times \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c(2(\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}(3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}))}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\\&-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}(2(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{4}&=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}},\\I_{5}&={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&\times {\frac {E_{f}[2\Delta _{2}^{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2})]+p_{f}c[2\Delta _{1}\Delta _{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}]}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\{2(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c]\}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}&={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}},\end{aligned}}} et
A = Z 2 α f i n e 3 ( 2 π ) 2 | p → f | | p → i | ℏ 2 ω Δ 1 = − p → i 2 − p → f 2 − ( ℏ c ω ) 2 + 2 ℏ c ω | p → i | cos Θ i , Δ 2 = − 2 ℏ c ω | p → f | + 2 | p → i | | p → f | cos Θ i . {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\mathrm {fine} }^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-{\vec {p}}_{i}^{2}-{\vec {p}}_{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega |{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega |{\vec {p}}_{f}|+2|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}
Une double intégration différentielle de la section efficace montre, par exemple, que des électrons dont l'énergie cinétique est plus grande que l'énergie au repos (511 keV ), émettent des photons en majorité dans la direction située devant eux alors que des électrons de plus petite énergie émettent des photons de façon isotrope (c.-à-d., de façon égale dans toutes les directions).
Notes ↑ L'énergie des électrons suit une distribution de Maxwell-Boltzmann à une température T e {\displaystyle T_{e}} ↑ C'est une puissance par intervalle de fréquence angulaire par volume, intégrée sur l'angle solide en entier. Références ↑ a et b (en) S. Ichimaru, Basic Principles of Plasmas Physics: A Statistical Approach , p. 228.↑ (en) NRL Plasma Formulary , 2006 Revision, p. 58.↑ (en) « http://theses.mit.edu/Dienst/UI/2.0/Page/0018.mit.theses/1995-130/25?npages=306 (Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ? ) ↑ (en) H.A. Bethe et Walter Heitler , « On the stopping of fast particles and on the creation of positive electrons », Proc. R. Soc. A vol. 146, 1er août 1934p. 83–112 (DOI 10.1098/rspa.1934.0140 ↑ Koehn, C., Ebert, U., Angular distribution of Bremsstrahlung photons and of positrons for calculations of terrestrial gamma-ray flashes and positron beams, Atmos. Res. (2013), https://dx.doi.org/10.1016/j.atmosres.2013.03.012 
![{\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={4{\sqrt {2}} \over 3{\sqrt {\pi }}}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{\frac {m_{e}c^{2}}{k_{B}T_{e}}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{2} \over r_{e}^{3}}\right]Z_{\mathrm {eff} }E_{1}(w_{m}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c5ec6be4beefa08a6e5006510145a4c248cf95)
![{\displaystyle w_{m}={1 \over 2K^{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{B}T_{e}}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42f4e90a43bbf187925951754f85f4051600734)
![{\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={8 \over 3}\left[n_{e}r_{e}^{3}\right]^{2}\left[{k_{B}T_{e} \over m_{e}c^{2}}\right]^{1/2}\left[{m_{e}c^{3} \over r_{e}^{4}}\right]Z_{\mathrm {eff} }\alpha K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7246f0014545855fde0af6a9e88ec86a75a0ffd2)
![{\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[{\textrm {W/m}}^{3}]=\left[{n_{e} \over 7.69\times 10^{18}{\textrm {m}}^{-3}}\right]^{2}T_{e}[{\textrm {eV}}]^{1/2}Z_{\mathrm {eff} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da64bd7714c902ac34876c7ab41840dad6ae46c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma &={\frac {Z^{2}\alpha _{\mathrm {fine} }^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{f}|}{|{\vec {p}}_{i}|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}d\Omega _{f}d\Phi }{|{\vec {q}}|^{4}}}\times \\&\times \left[{\frac {{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right.\\&+{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\\&+2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {{\vec {p}}_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+{\vec {p}}_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\\&-2\left.{\frac {|{\vec {p}}_{i}||{\vec {p}}_{f}|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{(E_{f}-c|{\vec {p}}_{f}|\cos \Theta _{f})(E_{i}-c|{\vec {p}}_{i}|\cos \Theta _{i})}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}{\vec {q}}^{2}\right)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbf8d63b55569f960c2b67c28bfc6daa611795c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}+\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}(\Delta _{1}-\Delta _{2})+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{2}&=-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}&={\frac {2\pi A}{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\\&\times \ln {\Bigg (}{\Big (}(E_{f}+p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{f}-p_{f}c)+(\Delta _{1}+\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)\\&-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}{\Big (}(E_{f}-p_{f}c)(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(-E_{f}-p_{f}c)\\&+(\Delta _{1}-\Delta _{2})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)-{\sqrt {(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}})){\Big )}^{-1}{\Bigg )}\\&\times \left[-{\frac {(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2})+p_{f}c(2(\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}(3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}))}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&-{\frac {c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{p_{f}(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})}}\\&-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}(2(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c)}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\right],\\I_{4}&=-{\frac {4\pi Ap_{f}c(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)}{(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})^{2}}},\\I_{5}&={\frac {4\pi A}{(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&\times {\frac {E_{f}[2\Delta _{2}^{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2})]+p_{f}c[2\Delta _{1}\Delta _{2}(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}]}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\{2(\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2})(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}[(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2})(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2})+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c]\}}{((\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}}\\&+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}(E_{i}^{2}+E_{f}^{2})(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f})}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}&={\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i})^{2}(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f7f9942bb133cb9747a343483866a0e06241f7)
