Règle de Raabe-Duhamel

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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Règle de Raabe-Duhamel^[1] — Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite de réels strictement positifs.

Si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ , alors $\sum u_{n}$ diverge.
S'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$ , alors $\sum u_{n}$ converge.

Cette règle est un corollaire immédiat^[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite $\left(n\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\right)\right)_{n}$ admet une limite réelle - $α$ , ce qui équivaut à

{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {\alpha }{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)

,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

si $α < 1$ , $\sum u_{n}$ diverge ;
si $α > 1$ , $\sum u_{n}$ converge.

Si $α = 1$ , l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soient $x,y>0$ . La série de terme général $u_{n}={\frac {x\left(1+x\right)\left(2+x\right)\dots \left(n+x\right)}{y\left(1+y\right)\left(2+y\right)\dots \left(n+y\right)}}$ est divergente si $y\leq x+1$ et convergente si $y>x+1$ ^[3]. En effet : ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {y-x}{n+1+y}}$ .

Règle de Kummer[modifier | modifier le code]

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit^[4]^,^[5] :

Soient $(u n)$ et $(k n)$ deux suites strictement positives.

Si $\sum1/ k n = +\infty$ et si, à partir d'un certain rang, $k n u n / u n +1 - k n +1 \leq 0$ , alors $\sum u n$ diverge.

Si $lim inf (k n u n / u n +1 - k n +1) > 0$ , alors $\sum u n$ converge.

Henri Padé a remarqué en 1908^[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs^[2].

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand^[7] (en prenant $k n = n ln (n)$ ), dont le critère de Gauss^[8]^,^[9] est une conséquence.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
↑ ^{a et b} Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité.
↑ (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 (lire en ligne), p. 33, exemple 2.
↑ (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
↑ La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si $(k n u n / u n +1 - k n +1)$ admet une limite $ρ$ : la série $\sum u n$ diverge si $ρ < 0$ et $\sum1/ k n = +\infty$ , et converge si $ρ > 0$ .
↑ B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2^e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », 2005 (lire en ligne), p. 264.
↑ (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
↑ (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221

Portail de l'analyse

[1] (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

[Wikiversité-2] {a et b} Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur Wikiversité.

[3] (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, 1908 (lire en ligne), p. 33, exemple 2.

[4] (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

[5] La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si $(k n u n / u n +1 - k n +1)$ admet une limite $ρ$ : la série $\sum u n$ diverge si $ρ < 0$ et $\sum1/ k n = +\infty$ , et converge si $ρ > 0$ .

[6] B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2^e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », 2005 (lire en ligne), p. 264.

[7] (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

[8] (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

[9] (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », sur MathWorld.

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