Produit infini de Cantor

En mathématiques, le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 ^[1] .

Énoncé du théorème de décomposition[modifier | modifier le code]

Tout nombre réel x₀ strictement plus grand que 1 s'exprime, de manière unique, sous la forme d'un produit infini de Cantor :

${\displaystyle x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)},}$

où les ${\displaystyle a_{n}}$ sont des entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n ${\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}^{2}}$, et ${\displaystyle a_{n}\geqslant 2}$ pour n assez grands^[2],[3].

Construction du produit[modifier | modifier le code]

On définit les nombres suivants, où ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$ représente la partie entière de x :

${\displaystyle a_{0}=\left\lfloor {\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right\rfloor ,\ x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}}$.

De ${\displaystyle a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}}$ on déduit aisément que x₁ > 1. On peut donc itérer le principe précédent et obtenir :

${\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right\rfloor ,\ x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}}$.

Caractérisation des nombres rationnels^[2],[3].[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

• Pour tout entier ${\displaystyle a\geqslant 2}$, ${\displaystyle {\frac {a}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a^{2^{n}}}}\right)}}$ ; la suite ${\displaystyle (a_{n})=(a^{2^{n}})}$ vérifie bien ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots }$, avec ${\displaystyle a_{0}=3}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$ , voir la suite A001601 de l'OEIS.

D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)^[2],[3].

• Plus généralement, Pour tout entier ${\displaystyle a\geqslant 2}$, ${\displaystyle {\sqrt {\frac {a+1}{a-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}}$, avec ${\displaystyle a_{0}=a}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$ ^[2],[3].

L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte, Berlin, 1921 (lire en ligne), p. 122-127

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Fraction continue
• Système de numération à bases de Cantor
• Développement en série de Engel

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