Processus de Kiefer
Le processus de Kiefer est un mouvement brownien à deux paramètres introduit par le mathématicien américain Jack Kiefer afin de voir le processus empirique comme un processus gaussien à deux paramètres. En particulier, en fixant le paramètre le processus de Kiefer est un pont brownien et en fixant le paramètre il devient un mouvement brownien.
Définition et propriétés[modifier | modifier le code]
Soit un processus de Wiener (ou mouvement brownien) à deux paramètres. Un processus de Kiefer est défini par
Le processus de Kiefer vérifie les propriétés suivantes :
- Si on fixe le paramètre , le processus de Kiefer est un mouvement brownien. Formellement, est un mouvement brownien ;
- Si on fixe le paramètre , le processus de Kiefer est un pont brownien. Formellement, est un pont brownien. ;
- est une suite de ponts browniens indépendants ;
- et la fonction de covariance de est donnée par
Approximation forte du processus empirique[modifier | modifier le code]
Jack Kiefer fut le premier mathématicien à considérer le processus empirique comme un processus à deux paramètres et que celui-ci devait par conséquent être approché par un processus gaussien bidimensionnel. Il prouve notamment que si est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur , il existe un processus de Kiefer vérifiant presque-sûrement[1]
Les mathématiciens Komlós, Tusnády et Major approchent fortement le processus empirique uniforme avec le processus de Kiefer avec une meilleure borne[2],[3]. Précisément, si est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur alors il existe un processus de Kiefer tel que pour tout , presque-sûrement [4]
où sont des constantes universelles positives. Ce qui entraîne d'après le lemme de Borel-Cantelli : presque-sûrement,
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Jack Kiefer, « Skorohod Embedding of Multivariate RV's and the sample DF », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 24, , p. 1-35
- (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV’-s, and the sample DF. I », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, no Gebiete 32, , p. 211-226 (lire en ligne)
- (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV'-s and the sample DF. II », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, no Gebiete 34, , p. 33-58 (lire en ligne)
- (en) M. Csörgo et P. Révész, Strong approximations in probability and statistics