Nombre composé

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Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même. Par définition, chaque entier plus grand que 1 est donc soit un nombre premier, soit un nombre composé, et les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés.

Autre définition : un nombre composé est le produit d'au moins deux nombres premiers (qu'ils soient distincts ou identiques).

Par exemple, l'entier 14 est un nombre composé parce qu'il a les nombres 1, 2, 7 et 14 pour diviseurs (quatre diviseurs).

Tous les entiers naturels pairs, hormis zéro et 2, sont composés. La méthode permettant de lister tous les entiers naturels impairs composés est appelée crible de Sundaram.

Propriétés[modifier | modifier le code]

• Tous les nombres pairs plus grands que 2 sont composés.
• Le plus petit nombre composé est 4.
• Chaque nombre composé peut être écrit comme un produit de plusieurs nombres premiers (non nécessairement distincts).

• Un nombre est un carré parfait si et seulement si son nombre de diviseurs est impair.
• ${\displaystyle (n-1)!\,\,\,\equiv \,\,0{\pmod {n}}}$ pour tout nombre composé n > 5.

• La moyenne arithmétique de deux nombres premiers consécutifs impairs (parfois appelée nombre interpremier), comme 6 = 5 + 7/2 ou 9 = 7 + 11/2, est toujours un nombre composé.

Densité asymptotique[modifier | modifier le code]

La raréfaction des nombres premiers montre que la proportion des nombres composés entre 1 et n tend vers 1 lorsque n tend vers +∞, autrement dit qu’ils sont de densité asymptotique^[1] égale à 1.

Généralisation aux entiers relatifs[modifier | modifier le code]

Un entier relatif est dit composé si sa valeur absolue est un entier naturel composé. Par exemple : -4 est composé.

Sortes de nombres composés[modifier | modifier le code]

Une manière de classer les nombres composés consiste à compter le nombre de facteurs premiers. Un nombre composé avec deux facteurs premiers est un nombre semi-premier ou un nombre 2-presque premier (les facteurs n'ont pas besoin d'être distincts, par conséquent, les carrés de nombres premiers sont inclus). Un nombre composé avec trois facteurs premiers distincts est un nombre sphénique. Dans quelques applications, il est nécessaire de différencier les nombres composés d'un nombre impair 2x + 1 de facteurs premiers distincts de ceux composés d'un nombre pair 2x de facteurs premiers distincts. Pour ce dernier cas

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1\,}$

(où μ est la fonction de Möbius), tandis que pour le cas précédent

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.\,}$

Par exemple, si x = 0 : μ(1) = 1 et pour tout nombre premier p, μ(p) = –1. Pour un nombre n avec un ou plus de nombres premiers répétés, μ(n) = 0.

Une autre manière de les classer consiste à compter le nombre de diviseurs. Tous les nombres composés ont au moins trois diviseurs. Dans le cas du carré d'un nombre premier p, ces diviseurs sont 1, p et p². Un nombre n qui possède plus de diviseurs qu'un x < n quelconque est un nombre hautement composé (bien que les deux premiers de ces nombres soient 1 et 2).

Premiers nombres composés[modifier | modifier le code]

Les vingt premiers nombres composés sont (suite A002808 de l'OEIS)

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32.

Le crible de Sundaram donne une méthode simple pour générer tous les nombres composés impairs.

Notes et références[modifier | modifier le code]

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant

• Arithmétique et théorie des nombres